关于后端:区间求和问题上下界分析-差分应用

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这是 LeetCode 上的 798. 得分最高的最小轮调 ，难度为艰难。

Tag :「区间求和问题」、「差分」

给你一个数组 $nums$，咱们能够将它按一个非负整数 $k$ 进行轮调，这样能够使数组变为 $[nums[k], nums[k + 1], … nums[nums.length – 1], nums[0], nums[1], …, nums[k-1]]$ 的模式。尔后，任何值小于或等于其索引的项都能够记作一分。

例如，数组为 $nums = [2,4,1,3,0]$，咱们按 $k = 2$ 进行轮调后，它将变成 $[1,3,0,2,4]$。这将记为 $3$ 分，因为 $1 > 0$ [不计分]、$3 > 1$ [不计分]、$0 <= 2$ [计 $1$ 分]、$2 <= 3$ [计 $1$ 分]，$4 <= 4$ [计 $1$ 分]。
在所有可能的轮调中，返回咱们所能失去的最高分数对应的轮调下标 $k$。如果有多个答案，返回满足条件的最小的下标 $k$。

示例 1：

输出：nums = [2,3,1,4,0]

输入：3

解释：上面列出了每个 k 的得分：k = 0,  nums = [2,3,1,4,0],    score 2
k = 1,  nums = [3,1,4,0,2],    score 3
k = 2,  nums = [1,4,0,2,3],    score 3
k = 3,  nums = [4,0,2,3,1],    score 4
k = 4,  nums = [0,2,3,1,4],    score 3
所以咱们该当抉择 k = 3，得分最高。

示例 2：

输出：nums = [1,3,0,2,4]

输入：0

解释：nums 无论怎么变动总是有 3 分。所以咱们将抉择最小的 k，即 0。

提醒：

$1 <= nums.length <= 10^5$
$0 <= nums[i] < nums.length$

为了不便，令 $n$ 为 $nums$ 长度（中文的数据范畴是错的，数组长度应该是 $10^5$，不是 $20000$）。

对于给定的 $nums$ 而言，无效的轮调范畴为 $[0, n – 1]$，即对于任意 $nums[i]$ 而言，可取的下标共有 $n$ 种。

假设以后下标为 $i$，轮调次数为 $k$，那么轮调后下标为 $i – k$，当新下标为正数时，相当于 $nums[i]$ 呈现在比原数组更“靠后”的地位，此时下标等价于 $(i – k + n) \mod n$。

思考什么状况下 $nums[i]$ 可能得分？

首先新下标的取值范畴为 $[0, n – 1]$，即有 $0 \leqslant i – k \leqslant n – 1$。由此可剖析出 $k$ 的取值范畴为：

$$
0 \leqslant i – k \Leftrightarrow k \leqslant i
$$

$$
i – k \leqslant n – 1 \Leftrightarrow i – (n – 1) \leqslant k
$$

即由新下标取值范畴可知 $k$ 的上下界别离为 $i$ 和 $i – (n – 1)$。

同时为了满足得分定义，还有 $nums[i] \leqslant i – k$，进行变形可得：

$$
nums[i] \leqslant i – k \Leftrightarrow k \leqslant i – nums[i]
$$

此时咱们有两个对于 $k$ 的上界 $k \leqslant i$ 和 $k \leqslant i – nums[i]$，因为 $nums[i]$ 取值范畴为 $[0, n)$，则有 $i – nums[i] \leqslant i$，因为必须同时满足「非法挪动（无效下标）」和「可能得分」，咱们仅思考范畴更小（更严格）由 $nums[i] \leqslant i – k$ 推导而来的上界 $k \leqslant i – nums[i]$ 即可。

综上，$nums[i]$ 可能得分的 $k$ 的取值范畴为 $[i – (n – 1), i – nums[i]]$。

最初思考 $[i – (n – 1), i – nums[i]]$（均进行加 $n$ 模 $n$ 转为负数）什么状况下为非法的间断段：

当 $i – (n – 1) \leqslant i – nums[i]$ 时，$[i – (n – 1), i – nums[i]]$ 为非法间断段；
当 $i – (n – 1) > i – nums[i]$ 时，依据正数下标等价于 $(i – k + n) \mod n$，此时 $[i – (n – 1), i – nums[i]]$ 等价于 $[0, i – nums[i]]$ 和 $[i – (n – 1), n – 1]$ 两段。

至此，咱们剖析出原数组的每个 $nums[i]$ 可能得分的 $k$ 的取值范畴，假设取值范畴为 $[l, r]$，咱们能够对 $[l, r]$ 进行 $+1$ 标记，代表范畴为 $k$ 可能得 $1$ 分，当解决完所有的 $nums[i]$ 后，找到标记次数最多的地位 $k$ 即是答案。

标记操作可应用「差分」实现（不理解差分的同学，能够先看前置🧀：差分入门模板题，外面解说了差分的两个外围操作「区间批改」&「单点查问」），而找标记次数最多的地位可对差分数组求前缀和再进行遍历即可。

代码：

class Solution {
    static int N = 100010;
    static int[] c = new int[N];
    void add(int l, int r) {c[l] += 1; c[r + 1] -= 1;
    }
    public int bestRotation(int[] nums) {Arrays.fill(c, 0);
        int n = nums.length;
        for (int i = 0; i < n; i++) {int a = (i - (n - 1) + n) % n, b = (i - nums[i] + n) % n;
            if (a <= b) {add(a, b);
            } else {add(0, b);
                add(a, n - 1);
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) c[i] += c[i - 1];
        int ans = 0, k = c[0];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {if (c[i] > k) {k = c[i]; ans = i;
            }
        }
        return ans;
    }
}