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题目形容
这是 LeetCode 上的 798. 得分最高的最小轮调 ，难度为 艰难。
Tag :「区间求和问题」、「差分」
给你一个数组 $nums$，咱们能够将它按一个非负整数 $k$ 进行轮调，这样能够使数组变为 $[nums[k], nums[k + 1], … nums[nums.length – 1], nums[0], nums[1], …, nums[k-1]]$ 的模式。尔后，任何值小于或等于其索引的项都能够记作一分。
例如，数组为 $nums = [2,4,1,3,0]$，咱们按 $k = 2$ 进行轮调后，它将变成 $[1,3,0,2,4]$。这将记为 $3$ 分，因为 $1 > 0$ [不计分]、$3 > 1$ [不计分]、$0 <= 2$ [计 $1$ 分]、$2 <= 3$ [计 $1$ 分]，$4 <= 4$ [计 $1$ 分]。
在所有可能的轮调中，返回咱们所能失去的最高分数对应的轮调下标 $k$。如果有多个答案，返回满足条件的最小的下标 $k$。
示例 1：
输出：nums = [2,3,1,4,0]
输入：3
解释：上面列出了每个 k 的得分：k = 0, nums = [2,3,1,4,0], score 2
k = 1, nums = [3,1,4,0,2], score 3
k = 2, nums = [1,4,0,2,3], score 3
k = 3, nums = [4,0,2,3,1], score 4
k = 4, nums = [0,2,3,1,4], score 3
所以咱们该当抉择 k = 3，得分最高。示例 2：
输出：nums = [1,3,0,2,4]
输入：0
解释：nums 无论怎么变动总是有 3 分。所以咱们将抉择最小的 k，即 0。提醒：
- $1 <= nums.length <= 10^5$
- $0 <= nums[i] < nums.length$
上下界剖析 + 差分利用
为了不便，令 $n$ 为 $nums$ 长度（中文的数据范畴是错的，数组长度应该是 $10^5$，不是 $20000$）。
对于给定的 $nums$ 而言，无效的轮调范畴为 $[0, n – 1]$，即对于任意 $nums[i]$ 而言，可取的下标共有 $n$ 种。
假设以后下标为 $i$，轮调次数为 $k$，那么轮调后下标为 $i – k$，当新下标为正数时，相当于 $nums[i]$ 呈现在比原数组更“靠后”的地位，此时下标等价于 $(i – k + n) \mod n$。
思考什么状况下 $nums[i]$ 可能得分？
首先新下标的取值范畴为 $[0, n – 1]$，即有 $0 \leqslant i – k \leqslant n – 1$。由此可剖析出 $k$ 的取值范畴为：
$$
0 \leqslant i – k \Leftrightarrow k \leqslant i
$$
$$
i – k \leqslant n – 1 \Leftrightarrow i – (n – 1) \leqslant k
$$
即由新下标取值范畴可知 $k$ 的上下界别离为 $i$ 和 $i – (n – 1)$。
同时为了满足得分定义，还有 $nums[i] \leqslant i – k$，进行变形可得：
$$
nums[i] \leqslant i – k \Leftrightarrow k \leqslant i – nums[i]
$$
此时咱们有两个对于 $k$ 的上界 $k \leqslant i$ 和 $k \leqslant i – nums[i]$，因为 $nums[i]$ 取值范畴为 $[0, n)$，则有 $i – nums[i] \leqslant i$，因为必须同时满足「非法挪动（无效下标）」和「可能得分」，咱们仅思考范畴更小（更严格）由 $nums[i] \leqslant i – k$ 推导而来的上界 $k \leqslant i – nums[i]$ 即可。
综上，$nums[i]$ 可能得分的 $k$ 的取值范畴为 $[i – (n – 1), i – nums[i]]$。
最初思考 $[i – (n – 1), i – nums[i]]$（均进行加 $n$ 模 $n$ 转为负数）什么状况下为非法的间断段：
- 当 $i – (n – 1) \leqslant i – nums[i]$ 时，$[i – (n – 1), i – nums[i]]$ 为非法间断段；
- 当 $i – (n – 1) > i – nums[i]$ 时，依据正数下标等价于 $(i – k + n) \mod n$，此时 $[i – (n – 1), i – nums[i]]$ 等价于 $[0, i – nums[i]]$ 和 $[i – (n – 1), n – 1]$ 两段。
至此，咱们剖析出原数组的每个 $nums[i]$ 可能得分的 $k$ 的取值范畴，假设取值范畴为 $[l, r]$，咱们能够对 $[l, r]$ 进行 $+1$ 标记，代表范畴为 $k$ 可能得 $1$ 分，当解决完所有的 $nums[i]$ 后，找到标记次数最多的地位 $k$ 即是答案。
标记操作可应用「差分」实现（不理解差分的同学，能够先看前置🧀：差分入门模板题，外面解说了差分的两个外围操作「区间批改」&「单点查问」），而找标记次数最多的地位可对差分数组求前缀和再进行遍历即可。
代码：
class Solution {
static int N = 100010;
static int[] c = new int[N];
void add(int l, int r) {c[l] += 1; c[r + 1] -= 1;
}
public int bestRotation(int[] nums) {Arrays.fill(c, 0);
int n = nums.length;
for (int i = 0; i < n; i++) {int a = (i - (n - 1) + n) % n, b = (i - nums[i] + n) % n;
if (a <= b) {add(a, b);
} else {add(0, b);
add(a, n - 1);
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++) c[i] += c[i - 1];
int ans = 0, k = c[0];
for (int i = 1; i <= n; i++) {if (c[i] > k) {k = c[i]; ans = i;
}
}
return ans;
}
}- 工夫复杂度：$O(n)$
- 空间复杂度：$O(n)$
最初
这是咱们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.798 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，局部是有锁题，咱们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章外面，除了解说解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果波及通解还会相应的代码模板。
为了不便各位同学可能电脑上进行调试和提交代码，我建设了相干的仓库：https://github.com/SharingSou…。
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