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题目形容
这是 LeetCode 上的 813. 最大平均值和的分组 ，难度为 中等。
Tag :「序列 DP」、「前缀和」、「动静布局」、「数学」
给定数组 nums 和一个整数 k。咱们将给定的数组 nums 分成 最多 k 个相邻的非空子数组。分数 由每个子数组内的平均值的总和形成。
留神咱们必须应用 nums 数组中的每一个数进行分组，并且分数不肯定须要是整数。
返回咱们所能失去的最大 分数 是多少。答案误差在 $10^{-6}$ 内被视为是正确的。
示例 1:
输出: nums = [9,1,2,3,9], k = 3
输入: 20.00000
解释:
nums 的最优分组是[9], [1, 2, 3], [9]. 失去的分数是 9 + (1 + 2 + 3) / 3 + 9 = 20.
咱们也能够把 nums 分成[9, 1], [2], [3, 9].
这样的分组失去的分数为 5 + 2 + 6 = 13, 但不是最大值.示例 2:
输出: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 4
输入: 20.50000提醒:
- $1 <= nums.length <= 100$
- $1 <= nums[i] <= 10^4$
前缀和 + 序列 DP
题意可整顿为一句话：将 $n$ 个元素划分为「最多」$m$ 个间断段，最大化间断段的平均值之和。
为了不便，咱们令所有数组下标从 $1$ 开始。
定义 $f[i][j]$ 为思考将前 $i$ 个元素划分成 $j$ 份的最大均匀和，答案为 $f[n][k]$，其中 $1 \leq k \leq m$。
不失一般性思考 $f[i][j]$ 该如何计算，因为划分进去的子数组不能是空集，因而咱们能够依据 $j$ 的大小分状况探讨：
- 当 $j = 1$，此时有 $f[i][j] = \frac{\sum_{idx = 1}^{i} nums[idx – 1]}{i}$
- 当 $j > 1$，此时枚举最初一个子数组的终点 $k$，其中 $2 \leq k \leq i$，此时有平均值之和为 $f[k – 1][j – 1] + \frac{\sum_{idx = k}^{i} nums[idx]}{i – k + 1}$，最终 $f[i][j]$ 为枚举所有 $k$ 值的最大值
其中求解间断段之和能够用「前缀和」进行优化。同时，想要简化代码，还能够利用一个简略的数学论断：划分份数越多，平均值之和越大，因而想要获得最大值必然是恰好划分成 $m$ 份。
Java 代码：
class Solution {public double largestSumOfAverages(int[] nums, int m) {
int n = nums.length;
double[] sum = new double[n + 10];
for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + nums[i - 1];
double[][] f = new double[n + 10][m + 10];
for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= Math.min(i, m); j++) {if (j == 1) {f[i][1] = sum[i] / i;
} else {for (int k = 2; k <= i; k++) {f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[k - 1][j - 1] + (sum[i] - sum[k - 1]) / (i - k + 1));
}
}
}
}
return f[n][m];
}
}TypeScript 代码：
function largestSumOfAverages(nums: number[], m: number): number {
const n = nums.length
const sum = new Array<number>(n + 10).fill(0)
for (let i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + nums[i - 1]
const f = new Array<Array<number>>()
for (let i = 0; i < n + 10; i++) f[i] = new Array<number>(m + 10).fill(0)
for (let i = 1; i <= n; i++) {for (let j = 1; j <= Math.min(i, m); j++) {if (j == 1) {f[i][j] = sum[i] / i
} else {for (let k = 2; k <= i; k++) {f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[k - 1][j - 1] + (sum[i] - sum[k - 1]) / (i - k + 1))
}
}
}
}
return f[n][m]
}Python 代码：
class Solution:
def largestSumOfAverages(self, nums: List[int], m: int) -> float:
n = len(nums)
psum = [0] * (n + 10)
for i in range(1, n + 1):
psum[i] = psum[i - 1] + nums[i - 1]
f = [[0] * (m + 10) for _ in range(n + 10)]
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, min(i, m) + 1):
if j == 1:
f[i][j] = psum[i] / i
else:
for k in range(2, i + 1):
f[i][j] = max(f[i][j], f[k - 1][j - 1] + (psum[i] - psum[k - 1]) / (i - k + 1))
return f[n][m]- 工夫复杂度：$O(n^2 \times m)$
- 空间复杂度：$O(n \times m)$
最初
这是咱们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.813 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，局部是有锁题，咱们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章外面，除了解说解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果波及通解还会相应的代码模板。
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