关于后端:813-最大平均值和的分组-结论序列-DP-题

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这是 LeetCode 上的 813. 最大平均值和的分组 ，难度为中等。

Tag :「序列 DP」、「前缀和」、「动静布局」、「数学」

给定数组 nums 和一个整数 k。咱们将给定的数组 nums 分成最多 k 个相邻的非空子数组。分数由每个子数组内的平均值的总和形成。

留神咱们必须应用 nums 数组中的每一个数进行分组，并且分数不肯定须要是整数。

返回咱们所能失去的最大分数是多少。答案误差在 $10^{-6}$ 内被视为是正确的。

示例 1:

输出: nums = [9,1,2,3,9], k = 3

输入: 20.00000

解释: 
nums 的最优分组是[9], [1, 2, 3], [9]. 失去的分数是 9 + (1 + 2 + 3) / 3 + 9 = 20. 
咱们也能够把 nums 分成[9, 1], [2], [3, 9]. 
这样的分组失去的分数为 5 + 2 + 6 = 13, 但不是最大值.

示例 2:

输出: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 4

输入: 20.50000

提醒:

$1 <= nums.length <= 100$
$1 <= nums[i] <= 10^4$

题意可整顿为一句话：将 $n$ 个元素划分为「最多」$m$ 个间断段，最大化间断段的平均值之和。

为了不便，咱们令所有数组下标从 $1$ 开始。

定义 $f[i][j]$ 为思考将前 $i$ 个元素划分成 $j$ 份的最大均匀和，答案为 $f[n][k]$，其中 $1 \leq k \leq m$。

不失一般性思考 $f[i][j]$ 该如何计算，因为划分进去的子数组不能是空集，因而咱们能够依据 $j$ 的大小分状况探讨：

当 $j = 1$，此时有 $f[i][j] = \frac{\sum_{idx = 1}^{i} nums[idx – 1]}{i}$
当 $j > 1$，此时枚举最初一个子数组的终点 $k$，其中 $2 \leq k \leq i$，此时有平均值之和为 $f[k – 1][j – 1] + \frac{\sum_{idx = k}^{i} nums[idx]}{i – k + 1}$，最终 $f[i][j]$ 为枚举所有 $k$ 值的最大值

其中求解间断段之和能够用「前缀和」进行优化。同时，想要简化代码，还能够利用一个简略的数学论断：划分份数越多，平均值之和越大，因而想要获得最大值必然是恰好划分成 $m$ 份。

Java 代码：

class Solution {public double largestSumOfAverages(int[] nums, int m) {
        int n = nums.length;
        double[] sum = new double[n + 10];
        for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + nums[i - 1];
        double[][] f = new double[n + 10][m + 10];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= Math.min(i, m); j++) {if (j == 1) {f[i][1] = sum[i] / i;
                } else {for (int k = 2; k <= i; k++) {f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[k - 1][j - 1] + (sum[i] - sum[k - 1]) / (i - k + 1));
                    }
                }
            }
        }
        return f[n][m];
    }
}

TypeScript 代码：

function largestSumOfAverages(nums: number[], m: number): number {
    const n = nums.length
    const sum = new Array<number>(n + 10).fill(0)
    for (let i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + nums[i - 1]
    const f = new Array<Array<number>>()
    for (let i = 0; i < n + 10; i++) f[i] = new Array<number>(m + 10).fill(0)
    for (let i = 1; i <= n; i++) {for (let j = 1; j <= Math.min(i, m); j++) {if (j == 1) {f[i][j] = sum[i] / i
            } else {for (let k = 2; k <= i; k++) {f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[k - 1][j - 1] + (sum[i] - sum[k - 1]) / (i - k + 1))
                }
            }
        }
    }
    return f[n][m]
}

Python 代码：

class Solution:
    def largestSumOfAverages(self, nums: List[int], m: int) -> float:
        n = len(nums)
        psum = [0] * (n + 10)
        for i in range(1, n + 1):
            psum[i] = psum[i - 1] + nums[i - 1]
        f = [[0] * (m + 10) for _ in range(n + 10)]
        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(1, min(i, m) + 1):
                if j == 1:
                    f[i][j] = psum[i] / i
                else:
                    for k in range(2, i + 1):
                        f[i][j] = max(f[i][j], f[k - 1][j - 1] + (psum[i] - psum[k - 1]) / (i - k + 1))
        return f[n][m]