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所属专栏:数据结构与算法
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前言
随着应用程序变得越来越简单和数据越来越丰盛,几百万、几十亿甚至几百亿的数据就会呈现,而对这么大对数据进行搜寻、插入或者排序等的操作就越来越慢,人们为了解决这些问题,进步对数据的管理效率,提出了一门学科即:数据结构与算法
1. 什么是数据结构
数据结构 (Data Structure) 是计算机存储、组织数据的形式,指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的汇合。
下标是常见的数据结构:
名称 | 定义 |
---|---|
数组(Array) | 数组是一种聚合数据类型,它是将具备雷同类型的若干变量有序地组织在一起的汇合。 |
链表(Linked List) | 链表是一种数据元素依照链式存储构造进行存储的数据结构,这种存储构造具备在物理上存在非间断的特点。 |
栈(Stack) | 栈是一种非凡的线性表,它只能在一个表的一个固定端进行数据结点的插入和删除操作 |
队列(Queue) | 队列和栈相似,也是一种非凡的线性表。和栈不同的是,队列只容许在表的一端进行插入操作,而在另一端进行删除操作。 |
树(Tree) | 树是典型的非线性构造,它是包含,2 个结点的有穷汇合 K |
堆(Heap) | 堆是一种非凡的树形数据结构,个别探讨的堆都是二叉堆。 |
图(Graph) | 图是另一种非线性数据结构。在图构造中,数据结点个别称为顶点,而边是顶点的有序偶对 |
2. 什么是算法
算法 (Algorithm): 就是定义良好的计算过程,他取一个或一组的值为输出,并产生出一个或一组值作为输入。简略来说算法就是一系列的计算步骤,用来将输出数据转化成输入后果。
算法个别分为:排序,递归与分治,回溯,DP,贪婪,搜索算法
- 算法往往数学密切相关,就如数学题一样,每道数学题都有不同的解法,算法也是同理。
3. 复杂度剖析
3.1 算法评估
咱们在进行算法剖析时,经常须要实现两个指标。一个是找出问题的解决办法,另一个就是找到问题的最优解。而为了找出最优解,咱们就须要从两个维度剖析:
- 工夫效率:算法运行的快慢
- 空间效率:算法所占空间的大小
3.2 评估办法
评估工夫的办法次要分为两种,一种是 试验分析法 ,一种是 实践分析法。
(1) 试验分析法
试验分析法简略来说就是将不同种算法输出同一台电脑,统计工夫的快慢。然而这种办法有两大缺点:
- 无奈排查试验本身条件与环境的条件的影响:比方同一种算法在不同配置的电脑上的运算速度可能齐全不同,甚至后果齐全相同。咱们很难排查所有状况。
- 老本太高:同一种算法可能在数据少时体现不显著,在数据多时速率较快
(2) 实践分析法
因为试验分析法的局限性,就有人提出了一种实践测评的办法,就是 渐近复杂度剖析 (asymptotic complexity analysis),简称 复杂度剖析。
这种办法体现算法运行所需的 工夫(空间)资源与输出数据大小 之间的关系,能无效的反馈算法的优劣。
4. 工夫复杂度与空间复杂度
4.1 工夫复杂度
一个算法 所破费的工夫与其中语句的执行次数 成正比例,算法中的基本操作的执行次数,为算法的工夫复杂度。
为了精确的表述一段代表所需工夫,咱们先假如赋值 (=) 与加号 (+) 所需工夫为 1ns,乘号 (×) 所需工夫为 2ns,打印所需为 3ns。
让咱们计算如下代码所需总工夫:
int main()
{
int i = 1;//1ns
int n = 0;//1ns
scanf("%d", &n);
for (i = 0; i < n; i++)
{printf("%d", i);//3ns
}
return 0;
}
计算工夫如下:
$$
T(n)=1+1+3×n=3n+2
$$
然而实际上统计每一项所需工夫是不事实的,并且因为是实践剖析,当 n—>∞时,其余项皆可疏忽,T(n)的数量级由最高阶决定。所以咱们计算工夫复杂度时,能够简化为两个步骤:
- 疏忽除最高阶以外的所有项。
- 疏忽所有系数。
而上述代码工夫能够记为 O(n),这种办法被称为 大 O 的渐进表示法。如果计算机后果全是常数,则记为 O(1)。
- 并且计算复杂度时,有时候会呈现不同状况的后果,这是应该以最坏的后果思考。
4.2 空间复杂度
空间复杂度也是一个数学表达式,是对一个算法在运行过程中 长期占用存储空间大小 的量度。空间复杂度的示意也遵循 大 O 的渐进表示法
让咱们计算一下冒泡排序的空间复杂度
// 计算 BubbleSort 的空间复杂度?void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{if (a[i - 1] > a[i])
{Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
- 通过观察咱们能够看出,冒泡排序并没有开拓多余的空间,所以空间复杂度为 O(1).
5. 复杂度分类
算法的复杂度有几个量级,示意如下:
$$
O(1) < O(log N) < O(N) < O(Nlog N) < O(N 2) < O(2^𝑛) < 𝑂(O!)
$$
- 从左到右复杂度顺次递增,算法的毛病也就越显著
图示如下:
5.1 常数 O(1)阶
常数阶是一种十分疾速的算法,然而在理论利用中十分难实现
以下是一种工夫复杂度与空间复杂度皆为 O(1)的算法:
int main()
{
int a = 0;
int b = 1;
int c = a + b;
printf("两数之和为 %d\n", c);
return 9;
}
5.2 对数阶 O(logN)
对数阶是一种比拟快的算法,它个别每次缩小一半的数据。咱们罕用的二分查找算法的工夫复杂度就为 O(logN)
二分查找如下:
int binary_search(int nums[], int size, int target) //nums 是数组,size 是数组的大小,target 是须要查找的值
{
int left = 0;
int right = size - 1; // 定义了 target 在左闭右闭的区间内,[left, right]
while (left <= right) {// 当 left == right 时,区间 [left, right] 依然无效
int middle = left + ((right - left) / 2);// 等同于 (left + right) / 2,避免溢出
if (nums[middle] > target) {right = middle - 1; //target 在左区间,所以[left, middle - 1]
} else if (nums[middle] < target) {left = middle + 1; //target 在右区间,所以[middle + 1, right]
} else { // 既不在右边,也不在左边,那就是找到答案了
return middle;
}
}
// 没有找到目标值
return -1;
}
空间复杂度为 O(logN)的算法,个别为分治算法
比方用递归实现二分算法:
int binary_search(int ar[], int low, int high, int key)
{if(low > high)// 查找不到
return -1;
int mid = (low+high)/2;
if(key == ar[mid])// 查找到
return mid;
else if(key < ar[mid])
return Search(ar,low,mid-1,key);
else
return Search(ar,mid+1,high,key);
}
每一次执行递归都会对应开拓一个空间,也被称为 栈帧。
5.3 线性阶 O(N)
线性阶算法,工夫复杂度与空间复杂度随着数量平均变动。
遍历数组或者链表是常见的线性阶算法,以下为工夫复杂度为 O(N)的算法:
int main()
{
int n = 0;
int count = 0;
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i++)
{count += i;// 计算 0~9 的和}
return 0;
}
以下为空间复杂度为 O(N)的算法
int main()
{
int n = 0;
int count = 0;
scanf("%d", &n);
int* p = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
// 开拓大小为 n 的空间
if (p == NULL)
{perror("malloc fail");
return -1;
}
free(p);
p=NULL;
return 0;
}
5.4 线性对数阶 O(NlogN)
无论是工夫复杂度还是空间复杂度,线性对数阶个别呈现在嵌套循环中,即一层的复杂度为 O(N),另一层为 O(logN)
比如说循环应用二分查找打印:
int binary_search(int nums[], int size, int target) //nums 是数组,size 是数组的大小,target 是须要查找的值
{
int left = 0;
int right = size - 1; // 定义了 target 在左闭右闭的区间内,[left, right]
while (left <= right) {// 当 left == right 时,区间 [left, right] 依然无效
int middle = left + ((right - left) / 2);// 等同于 (left + right) / 2,避免溢出
if (nums[middle] > target) {right = middle - 1; //target 在左区间,所以[left, middle - 1]
}
else if (nums[middle] < target) {left = middle + 1; //target 在右区间,所以[middle + 1, right]
}
else { // 既不在右边,也不在左边,那就是找到答案了
printf("%d", nums[middle]);
}
}
// 没有找到目标值
return -1;
}
void func(int nums[], int size, int target)
{for (int i = 0; i < size; i++)
{binary_search(nums, size, target);
}
}
空间复杂度为 O(NlogN)的算法,最常见的莫非归并排序
void Merge(int sourceArr[],int tempArr[], int startIndex, int midIndex, int endIndex){
int i = startIndex, j=midIndex+1, k = startIndex;
while(i!=midIndex+1 && j!=endIndex+1) {if(sourceArr[i] > sourceArr[j])
tempArr[k++] = sourceArr[j++];
else
tempArr[k++] = sourceArr[i++];
}
while(i != midIndex+1)
tempArr[k++] = sourceArr[i++];
while(j != endIndex+1)
tempArr[k++] = sourceArr[j++];
for(i=startIndex; i<=endIndex; i++)
sourceArr[i] = tempArr[i];
}
// 外部应用递归
void MergeSort(int sourceArr[], int tempArr[], int startIndex, int endIndex) {
int midIndex;
if(startIndex < endIndex) {midIndex = startIndex + (endIndex-startIndex) / 2;// 防止溢出 int
MergeSort(sourceArr, tempArr, startIndex, midIndex);
MergeSort(sourceArr, tempArr, midIndex+1, endIndex);
Merge(sourceArr, tempArr, startIndex, midIndex, endIndex);
}
}
5.5 平方阶 O(N^2^)
平方阶与线性对数阶类似,常见于嵌套循环中,每层循环的复杂度为 O(N)
工夫复杂度为 O(N^2^),最常见的就是冒泡排序
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{if (a[i - 1] > a[i])
{Swap(&a[i - 1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
计算过程如下;
$$
T(N)=1+2+3+……+n-1=(n^2-n)/2=O(n^2)
$$
空间复杂度为 O(N^2^),最简略的就是动静开拓。
{
int n = 0;
int count = 0;
scanf("%d", &n);
int* p = (int*)malloc(sizeof(int) * n*n);
// 开拓大小为 n 的空间
if (p == NULL)
{perror("malloc fail");
return -1;
}
free(p);
p=NULL;
return 0;
}
5.6 指数阶 O(2^N^)
指数阶的算法效率低,并不罕用。
常见的工夫复杂度为 O(2^N^)的算法就是递归实现斐波拉契数列:
int Fib1(int n)
{if (n == 1 || n == 2)
{return 1;}
else
{return Fib1(n - 1) + Fib1(n - 2);
}
}
粗略预计
$$
T(n)=2^0+2^1+2^2+…..+2^(n-1)=2^n-1=O(2^N)
$$
- 值得一提的是 斐波拉契的空间复杂度为 O(N),因为在递归至最深处后往回归的过程中,后续空间都在销毁的空间上建设的,这样能大大提高空间的利用率。
空间复杂度为 O(2^N^)的算法个别与树无关,比方建设满二叉树
TreeNode* buildTree(int n) {if (n == 0)
return NULL;
TreeNode* root = newTreeNode(0);
root->left = buildTree(n - 1);
root->right = buildTree(n - 1);
return root;
}
5.7 阶乘阶 O(N!)
阶乘阶的算法复杂度最高,简直不会采纳该类型的算法。
这是一个工夫复杂度为阶乘阶 O(N!)的算法
int func(int n)
{if (n == 0)
return 1;
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
{count += func(n - 1);
}
return count;
}
示意图:
- 空间复杂度为阶乘阶 O(N!)的算法并不常见,这里就不在一一列举。