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题目形容
这是 LeetCode 上的 1175. 质数排列 ，难度为 简略。
Tag :「数学」、「组合数」、「二分」、「打表」
请你帮忙给从 $1$ 到 $n$ 的数设计排列计划，使得所有的「质数」都应该被放在「质数索引」（索引从 $1$ 开始）上；你须要返回可能的计划总数。
让咱们一起来回顾一下「质数」：质数肯定是大于 $1$ 的，并且不能用两个小于它的正整数的乘积来示意。
因为答案可能会很大，所以请你返回答案 模 mod $10^9 + 7$ 之后的后果即可。
示例 1：
输出：n = 5
输入：12
解释：举个例子，[1,2,5,4,3] 是一个无效的排列，但 [5,2,3,4,1] 不是，因为在第二种状况里质数 5 被谬误地放在索引为 1 的地位上。示例 2：
输出：n = 100
输入：682289015提醒：
- $1 <= n <= 100$
打表 + 二分 + 数学
依据题意，可将问题转换为求 $n$ 以内的质数个数，记为 $a$，同时可得非质数个数为 $b = n – a$。
质数的搁置计划数为 $a!$，而非质数的搁置计划数为 $b!$，依据「乘法原理」总的搁置计划数为 $a! \times b!$。
咱们能够通过「打表」的形式将 $100$ 以内的质数预处理到数组 list 中，对于每个 $n$ 而言，咱们找到第一个满足「值小于等于 $n$」的地位，从而得悉 $n$ 范畴以内的质数个数。
代码：
class Solution {static int MOD = (int)1e9+7;
static List<Integer> list = new ArrayList<>();
static {for (int i = 2; i <= 100; i++) {
boolean ok = true;
for (int j = 2; j * j <= i; j++) {if (i % j == 0) ok = false;
}
if (ok) list.add(i);
}
}
public int numPrimeArrangements(int n) {int l = 0, r = list.size() - 1;
while (l < r) {
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (list.get(mid) <= n) l = mid;
else r = mid - 1;
}
int a = r + 1, b = n - a;
long ans = 1;
for (int i = b; i > 1; i--) ans = ans * i % MOD ;
for (int i = a; i > 1; i--) ans = ans * i % MOD ;
return (int)ans;
}
}- 工夫复杂度：二分的复杂度为 $O(\log{n})$，计算计划数的复杂度为 $O(n)$。整体复杂度为 $O(n)$
- 空间复杂度：$O(C)$，其中 $C = 25$ 为 $100$ 以内的质数个数
打表 + 数学
更进一步，对于特定的 $n$ 而言，咱们在预处理 $100$ 以内的质数时，曾经能够确定在 $[1, n]$ 内有多少个质数，从而省掉二分操作。
应用数组 cnts 记录下不超过以后值范畴内质数的个数，$cnts[i] = x$ 含意为在 $[1, i]$ 范畴内质数数量为 $x$。
代码：
class Solution {static int MOD = (int)1e9+7;
static int[] cnts = new int[110];
static {List<Integer> list = new ArrayList<>();
for (int i = 2; i <= 100; i++) {
boolean ok = true;
for (int j = 2; j * j <= i; j++) {if (i % j == 0) ok = false;
}
if (ok) list.add(i);
cnts[i] = list.size();}
}
public int numPrimeArrangements(int n) {int a = cnts[n], b = n - a;
long ans = 1;
for (int i = b; i > 1; i--) ans = ans * i % MOD ;
for (int i = a; i > 1; i--) ans = ans * i % MOD ;
return (int)ans;
}
}- 工夫复杂度：$O(n)$
- 空间复杂度：$O(C)$，其中 $C = 100$
最初
这是咱们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1175 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，局部是有锁题，咱们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章外面，除了解说解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果波及通解还会相应的代码模板。
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