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无所不在的单位
从小学开始，我们就一直接触到计量单位。从最开始基础的 时分秒 ，到后来 速度的单位，我们似乎还在掌控之中。
但是到了中学，计量单位就开始变得多了起来。各种物理公式混杂在一起，让人 手忙脚乱。
这里，我们来梳理一下常见的实用单位分析的方法，把我们从单位转换和公式中解救出来！
单位换算
小学版本
小学的时候的单位换算主要就是 乘法和除法并用 。比如说时间单位：
$$1\text{min} = 60\text{s}$$
我们要算 $\text{min}$ 和算 $\text{s}$ 的时候是不一样的。
▼▼▼
例 1： 转换为秒：$53\mathrm{min}$
解 1： $53\times 60 = 3180(\text{s})$
例 2： 转换为分钟：$3180\mathrm{s}$
解 2： $3180\div 60 = 53(\text{min})$
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但是这种方法还要再思考 到底要用乘法还是除法 ，非常的麻烦，还 容易出错。
如果要算的步骤多了，特别容易把自己搞晕：
▼▼▼
例 3： 转换为天：$30\mathrm{s}$
解 3：
$30\div 60 = 0.5(\text{min})$
$0.5\div 60 \approx 0.00833(\text{h})$
$0.00833\div 24 \approx 0.000347(\text{day})$
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这简直太容易出错了！而且小数一步一步地算最后的 答案还不精确！
换算系数（conversion factor）则能够完美地解决这一问题。
中学版本
换算系数
换算系数的优雅之处就在于，他利用了数学上“任何数乘以 1 都得原数 ”的性质，将要转换的两个单位写成了分数的形式。拿时间来说，我们左右两边同时除以左边的数：
$$1\mathrm{min} = 60\mathrm{s}$$
$$\frac{1\mathrm{min}}{1\mathrm{min}} = \frac{60\mathrm{s}}{1\mathrm{min}}$$
$$1 = \frac{60\mathrm{s}}{1\mathrm{min}}$$
同理，左右同时除以右边的数：
$$1\mathrm{min} = 60\mathrm{s}$$
$$\frac{1\mathrm{min}}{60\mathrm{s}} = \frac{60\mathrm{s}}{60\mathrm{s}}$$
$$\frac{1\mathrm{min}}{60\mathrm{s}} = 1$$
所以我们就有了时间的换算系数：
$$\boxed{\frac{1\mathrm{min}}{60\mathrm{s}} = \frac{60\mathrm{s}}{1\mathrm{min}} = 1}$$
其实就是把等式左右两边堆成一个 等于 1 的分数。
换算系数的使用
在转换单位的时候，记住这三点：
- 计算全程带单位。
- 把单位当成未知数运算。
- 选择能够约分的转换系数：分别在分子分母对角线的单位可以约分。
还是同样的题，思考时间大大减少：
▼▼▼
例 4： 转换为秒：$53\mathrm{min}$
解 4：
$$
\begin{aligned}
53\mathrm{min} &= \frac{53\mathrm{min}}{1} \times 1 \\\\
&= \frac{53\mathrm{min}}{1} \times \frac{60\mathrm{s}}{1\mathrm{min}} \\\\
&= 53 \times 60 \mathrm{s} \\\\
&= 3180 \mathrm{s}
\end{aligned}
$$
熟练之后，一行就能搞定了：
$$53\text{min} \times \frac{60\mathrm{s}}{1\mathrm{min}} = 3180\text{s}$$
▲▲▲
在分子和分母上的 $\text{min}$ 成功被约掉了！
这看起来更复杂了，但事实上只是把 有用的信息 写出来了，在更加复杂的场景中给每个 数字赋予了意义。我们实践一下更复杂的题目:
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例 5： 转换为天：$30\mathrm{s}$
解 5：
$$
\frac{30\mathrm{s}}{1} \times
\frac{1\mathrm{min}}{60\mathrm{s}} \times
\frac{1\mathrm{h}}{60\mathrm{min}} \times
\frac{1\mathrm{day}}{24\mathrm{h}} \approx
0.000347\text{day}
$$
▲▲▲
一行就得答案 ， 不用管乘除法 ，而且 只用输一次计算器！
还有更难的复合单位，也不在话下：
▼▼▼
例 6： 转换为 $\text{m/s}$：$1\text{km/h}$
解 6： 一步一步来，先转换长度单位，让 $\text{km}$ 在对角线：
$$
\frac{1\text{km}}{1\text{h}} \times
\frac{1000\text{m}}{1\text{km}}…
$$
再转换时间单位，让 $\text{h}$ 和 $\text{min}$ 在对角线：
$$
…\times
\frac{1\text{h}}{60\text{min}} \times
\frac{1\text{min}}{60\text{s}}
$$
我们得到：
$$
\frac{1\text{km}}{1\text{h}} \times
\frac{1000\text{m}}{1\text{km}} \times
\frac{1\text{h}}{60\text{min}} \times
\frac{1\text{min}}{60\text{s}} \approx
0.28\text{m/s}
$$
▲▲▲
遇到奇奇怪怪的题也不会一时语塞了：
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例 7： 已知 $2\alpha = 3\beta，15\beta = 7\gamma$，求 $37\alpha = ?\gamma$
解 7：
$$
\frac{37\alpha}{1} \times
\frac{3\beta}{2\alpha} \times
\frac{7\gamma}{15\beta} =
25.9\gamma
$$
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再也不用担心用错乘除法了！
总结一下：转换系数
已知一个单位转换 $a=b$，我们就可以把它写成转换系数
$$\boxed{\frac{a}{b} = \frac{b}{a} = 1}$$
再根据已知条件，遵守以下原则，就可以顺利转换单位了！
- 计算全程带单位。
- 把单位当成未知数运算。
- 选择能够约分的转换系数：分别在分子分母对角线的单位可以约分。
妈妈再也不用担心我的单位转换啦！
附录
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图文 | 林腾睿 UW’23