从三角形面积到不规则多边形面积

2019-09-03 13:16:24，“求凹多边形的面积”，这是一个面试题，我被问到了。所以就想将这个问题消灭成沫沫以明志。

一，三角形的面积公式

1. 平行四边形的面积 s = 底 * 高

2. 三角形可以视之为平行四边形的一半。因此：

三角形的面积 = 底 * 高 /2

二，不知高底，知其点位，求三角形的面积

1. 案例：已知三角形 ABC，ABC 的三点为 A(0,0)，B(cx,cy)，C(bx,by)，求三角形面积

解：
① 获取三角形的矩形边界：
上边界 =cy
右边界 =bx
下边界 =0
左边界 =0

② 绘制边界，得到 D 点和三个三角形 t1,t2,t3

③ 由上图可知：

● 矩形面积
=bx*cy

● t1 面积
=(cx*cy)/2

● t2 面积
=(bx-cx)*(cy-by)/2
=(bxcy – bxby – cxcy + cxby)/2

● t3 面积
= bx*by/2

● 三角形 ABC 的面积
= 矩形面积 – t1 面积 – t2 面积 – t3 面积
= bxcy – (cxcy)/2 – (bxcy – bxby – cxcy + cxby)/2 – (bx*by)/2
= (2bxcy – cxcy – (bxcy – bxby – cxcy + cxby) – bxby)/2
= (2bxcy – cxcy – bxcy + bxby + cxcy – cxby – bxby)/2
= (2bxcy – bxcy – cxby)/2
= (bxcy – cxby)/2

2. 三角形还有一种画法，如图

做辅助线：

● 大三角形 ABD 的面积
=cx*cy/2

● t1 面积
=(cx-bx)*(cy-by)/2
=(cxcy-cxby-bxcy+bxby)/2
=(cxcy-cxby-bxcy+bxby)/2

● t2 面积
=(cx-bx)*by
=cxby-bxby

● t3 面积
= bx*by/2

● 三角形 ABC 的面积
= 大三角形 ABD 的面积 – t1 面积 – t2 面积 – t3 面积
= (cxcy – (cxcy-cxby-bxcy+bxby) – (2cxby-2bxby) – bx*by)/2
= (cxcy – cxcy+cxby+bxcy-bxby – 2cxby+2bxby – bx*by)/2
= (bxcy-cxby)/2

对比一下上一种三角形的面积公式：(bxcy – cxby)/2，两个公式是一样的，所以这个就是求一顶点在圆心的三角形面积的公式了。

3. 再来一画法，跟三角形耗上了

● 矩形面积
=bx*(cy-by)
=bxcy-bxby

● t1 面积
=(cx*cy)/2

● t2 面积
=(bx-cx)*(cy-by)/2
=(bxcy – bxby – cxcy + cxby)/2

● t3 面积
= -bx*by/2

● 三角形 ABC 的面积
= 矩形面积 – t1 面积 – t2 面积 – t3 面积
= bxcy-bxby – (cxcy)/2 – (bxcy – bxby – cxcy + cxby)/2 – (-bxby/2)
= (2bxcy-2bxby – cxcy – bxcy + bxby + cxcy – cxby + bxby)/2
= (bxcy – cxby)/2

还是一样的公式 (bxcy – cxby)/2，所以这就是三角形面积的计算公式

三，进入多边形

1. 多边形里，有一种游戏规则，叫做连点成面，如图：

● 这叫扇形面，在 WebGl 里叫 TRIANGLE_FAN，从 A 到 G 逆时针绘制，所有面都有一个共同的顶点 A。

● 在平面中计算，扇形面的面积 = (bxcy – cxby)/2 + (cxdy – dxcy)/2 + … + (fxgy – gxfy)/2

2. 多边形里还有一种另类的叫：异形。

如图：

● 连一下线：

有种想哭的节奏(┬_┬)

3. 先观察一下异形的规律

• 异性都存在存在逆折点。
• 逆折的判断条件：默认逆时针连点，若基点到下一个点（如 C）的角度小于基点到上一个点（如 B）的角度，即存在顺时针连点，那么此图形就存在逆折。
• 逆折点：发生逆折的点，如点 B，点 D

四，复杂的异形简化

1. 理解 ABC 的面积的计算原理是关键。

(bxcy – cxby)/2 公式是基于逆时针定义的

2. 我们在连点绘制多边形时，会有如下规则：

• 按照顶点在集合中的顺序，依次连接，而不会考虑连接的方向。
• 在计算面积时，依旧会按照点的顺序计算。

3. 我们在按照一种方向的时针公式计算以不同方向绘制的三角形时，便会出现面积为负数的三角形。如：

三角形 ABC 的真正面积是：(cxby – bxcy)/2，即 -(bxcy – cxby)/2，因此我们依旧以(bxcy – cxby)/2 计算得到的面积就是负数

4. 计算异形 ABCD 的面积

ABCD 的面积
=ABC 面积 + ACD 面积
=(bxcy – cxby)/2 + (cxdy – dxcy)/2

因为 ABC 面积 为负数，异形 ABCD 的面积正好是：大三角形 ACD 面积 – ABC 的真正面积

5. 总结
在异形面积的计算中，正常扇形的计算公式依旧是适用，即：
多边形面积 = (bxcy – cxby)/2 + (cxdy – dxcy)/2 + … + (fxgy – gxfy)/2