本文原文地址 https://blog.csdn.net/xindoo/article/details/106458165

在上篇博客从 0 到 1 打造正则表达式执行引擎 (一) 中我们已经构建了一个可用的正则表达式引擎，相关源码见 https://github.com/xindoo/regex，但上文中只是用到了 NFA，NFA 的引擎建图时间复杂度是 O(n)，但匹配一个长度为 m 的字符串时因为涉及到大量的递归和回溯，最坏时间复杂度是 O(mn)。与之对比 DFA 引擎的建图时间复杂度 O(n^2)，但匹配时没有回溯，所以匹配复杂度只有 O(m)，性能差距还是挺大的。

DFA 和 NFA

我们已经多次提到了 NFA 和 DFA，它俩究竟是啥？有啥区别？
首先，NFA 和 DFA 都是有限状态机，都是有向图，用来描述状态和状态之间的关系。其中 NFA 全称是非确定性有限状态自动机(Nondeterministic finite automaton)，DFA 全称是确定性有限状态自动机(Deterministic finite automaton)。

二者的差异主要在于确定性和非确定性，何为确定性？确定性是指面对同一输入，不会出现有多条可行的路径执行下一个节点。有点绕，看完图你就理解了。

图示分别是一个 NFA 和 DFA，上图之所以是 NFA 是因为它有节点具备 不确定性，比如 0 节点，在输入 ”a” 之后它分别可以到 0 1 2 节点。还有，上图有 $\epsilon$ 边，它可以在没有输入的情况下跳到下一个节点，这也带来了不确定性。相反，下图 DFA 中，每个节点对某一特定的输入都只有最多一条边。

总结下 NFA 和 DFA 的区别就是，有 ε 边或者某个节点对同一输入对应多个状态的一定是 NFA。

DFA 和 NFA 存在等价性，也就是说任何 NFA 都可以转化为等价的 DFA。由于 NFA 的非确定性，在面对一个输入的时候可能有多条可选的路径，所以在一条路径走不通的情况下，需要回溯到选择点去走另外一条路径。但 DFA 不同，在每个状态下，对每个输入不会存在多条路径，就不需要递归和回溯了，可以一条路走到黑。DFA 的匹复杂度只有 O(n)，但因为要递归和回溯 NFA 的匹配复杂度达到了 O(n^2)。这也是为什么我们要将引擎中的 NFA 转化为 DFA 的主要原因。

NFA 转 DFA

算法

NFA 转 DFA 的算法叫做 子集构造法，其具体流程如下。

• 步骤 1: NFA 的初始节点和初始节点所有 ε 可达的节点共同构成 DFA 的初始节点，然后对初始 DFA 节点执行步骤 2。
• 步骤 2: 对当前 DFA 节点，找到其中所有 NFA 节点对输入符号 X 所有可达的 NFA 节点，这些节点沟通构成的 DFA 节点作为当前 DFA 节点对输入 X 可达的 DFA 节点。
• 步骤 3: 如果步骤 2 中找到了新节点，就对新节点重复执行步骤 2。
• 步骤 4: 重复步骤 2 和步骤 3 直到找不 DFA 新节点为止。
• 步骤 5: 把所有包含 NFA 终止节点的 DFA 节点标记为 DFA 的终止节点。

语言描述比较难理解，我们直接上例子。我们已经拿上一篇网站中的正则表达式 a(b|c) 为例，我在源码 https://github.com/xindoo/regex 中加入了 NFA 输出的代码，a(b|c) 的 NFA 输出如下。

from to input
 0-> 1  a
 1-> 8  Epsilon
 8-> 9  Epsilon
 8-> 6  Epsilon
 6-> 2  Epsilon
 6-> 4  Epsilon
 2-> 3  b
 4-> 5  c
 3-> 7  Epsilon
 5-> 7  Epsilon
 7-> 9  Epsilon
 7-> 6  Epsilon

绘图如下：

我们在上图的基础上执行步骤 1 得到了节点 0 作为 DFA 的开始节点。

然后对 DFA 的节点 0 执行步骤 1，找到 NFA 中所有 a 可达的 NFA 节点 (1#2#4#6#8#9) 构成 NFA 中的节点 1，如下图。

我以 dfa1 为出发点，发现了 a 可达的所有 NFA 节点 (2#3#4#6#7#9) 和 b 可达的所有节点 (2#4#5#6#7#9)，分别构成了 DFA 中的 dfa2 和 dfa3，如下图。


然后我们分别在 dfa2 dfa3 上执行步骤三，找不到新节点，但会找到几条新的边，补充如下，至此我们就完成了对 a(b|c)* 对应 NFA 到 DFA 的转化。

可以看出 DFA 图节点明显少于 NFA，但 NFA 更容易看出其对应的正则表达式。之前我还写过 DFA 生成正则表达式的代码，详见文章 https://blog.csdn.net/xindoo/article/details/102643270

代码实现

代码其实就是对上文流程的表述，更多细节见 https://github.com/xindoo/regex。

 private static DFAGraph convertNfa2Dfa(NFAGraph nfaGraph) {DFAGraph dfaGraph = new DFAGraph();
        Set<State> startStates = new HashSet<>();
        // 用 NFA 图的起始节点构造 DFA 的起始节点 步骤 1 
        startStates.addAll(getNextEStates(nfaGraph.start, new HashSet<>()));
        if (startStates.size() == 0) {startStates.add(nfaGraph.start);
        }
        dfaGraph.start = dfaGraph.getOrBuild(startStates);
        Queue<DFAState> queue = new LinkedList<>();
        Set<State> finishedStates = new HashSet<>();
        // 如果 BFS 的方式从已找到的起始节点遍历并构建 DFA
        queue.add(dfaGraph.start);
        while (!queue.isEmpty()) {  // 步骤 2 
            DFAState curState = queue.poll();
            for (State nfaState : curState.nfaStates) {Set<State> nextStates = new HashSet<>();
                Set<String> finishedEdges = new HashSet<>();
                finishedEdges.add(Constant.EPSILON);
                for (String edge : nfaState.next.keySet()) {if (finishedEdges.contains(edge)) {continue;}
                    finishedEdges.add(edge);
                    Set<State> efinishedState = new HashSet<>();
                    for (State state : curState.nfaStates) {Set<State> edgeStates = state.next.getOrDefault(edge, Collections.emptySet());
                        nextStates.addAll(edgeStates);
                        for (State eState : edgeStates) {
                            // 添加 E 可达节点
                            if (efinishedState.contains(eState)) {continue;}
                            nextStates.addAll(getNextEStates(eState, efinishedState));
                            efinishedState.add(eState);
                        }
                    }
                    // 将 NFA 节点列表转化为 DFA 节点，如果已经有对应的 DFA 节点就返回，否则创建一个新的 DFA 节点
                    DFAState nextDFAstate = dfaGraph.getOrBuild(nextStates);
                    if (!finishedStates.contains(nextDFAstate)) {queue.add(nextDFAstate);
                    }
                    curState.addNext(edge, nextDFAstate);
                }
            }
            finishedStates.add(curState);
        }
        return dfaGraph;
    }

public class DFAState extends State {public Set<State> nfaStates = new HashSet<>();
    // 保存对应 NFAState 的 id, 一个 DFAState 可能是多个 NFAState 的集合, 所以拼接成 String
    private String allStateIds;
    public DFAState() {this.stateType = 2;}

    public DFAState(String allStateIds, Set<State> states) {
        this.allStateIds = allStateIds;
        this.nfaStates.addAll(states);
         // 这里我将步骤五直接集成在创建 DFA 节点的过程中了
        for (State state : states) {if (state.isEndState()) {this.stateType = 1;}
        }
    }

    public String getAllStateIds() {return allStateIds;}
}

另外我在 DFAGraph 中封装了有些 NFA 节点列表到 DFA 节点的转化和查找，具体如下。

public class DFAGraph {private Map<String, DFAState> nfaStates2dfaState = new HashMap<>();
    public DFAState start = new DFAState();

    // 这里用 map 保存 NFAState 结合是已有对应的 DFAState, 有就直接拿出来用
    public DFAState getOrBuild(Set<State> states) {
        String allStateIds = "";
        int[] ids = states.stream()
                          .mapToInt(state -> state.getId())
                          .sorted()
                          .toArray();
        for (int id : ids) {
            allStateIds += "#";
            allStateIds += id;
        }
        if (!nfaStates2dfaState.containsKey(allStateIds)) {DFAState dfaState = new DFAState(allStateIds, states);
            nfaStates2dfaState.put(allStateIds, dfaState);
        }
        return nfaStates2dfaState.get(allStateIds);
    }
}

DFA 引擎匹配过程

dfa 引擎的匹配也可以完全复用 NFA 的匹配过程，所以对之前 NFA 的匹配代码，可以针对 DFA 模式取消回溯即可(不取消也没问题，但会有性能影响)。

   private boolean isMatch(String text, int pos, State curState) {if (pos == text.length()) {if (curState.isEndState()) {return true;}
            for (State nextState : curState.next.getOrDefault(Constant.EPSILON, Collections.emptySet())) {if (isMatch(text, pos, nextState)) {return true;}
            }
            return false;
        }

        for (Map.Entry<String, Set<State>> entry : curState.next.entrySet()) {String edge = entry.getKey();
            // 如果是 DFA 模式, 不会有 EPSILON 边
            if (Constant.EPSILON.equals(edge)) {for (State nextState : entry.getValue()) {if (isMatch(text, pos, nextState)) {return true;}
                }
            } else {MatchStrategy matchStrategy = MatchStrategyManager.getStrategy(edge);
                if (!matchStrategy.isMatch(text.charAt(pos), edge)) {continue;}
                // 遍历匹配策略
                for (State nextState : entry.getValue()) {// 如果是 DFA 匹配模式,entry.getValue()虽然是 set, 但里面只会有一个元素, 所以不需要回溯
                    if (nextState instanceof DFAState) {return isMatch(text, pos + 1, nextState);
                    }
                    if (isMatch(text, pos + 1, nextState)) {return true;}
                }
            }
        }
        return false;
    }

因为 DFA 的匹配不需要回溯，所以可以完全改成非递归代码。

    private boolean isDfaMatch(String text, int pos, State startState) {
        State curState = startState;
        while (pos < text.length()) {
            boolean canContinue = false;
            for (Map.Entry<String, Set<State>> entry : curState.next.entrySet()) {String edge = entry.getKey();
                MatchStrategy matchStrategy = MatchStrategyManager.getStrategy(edge);
                if (matchStrategy.isMatch(text.charAt(pos), edge)) {curState = entry.getValue().stream().findFirst().orElse(null);
                    pos++;
                    canContinue = true;
                    break;
                }
            }
            if (!canContinue) {return false;}
        }
        return curState.isEndState();}

DFA 和 NFA 引擎性能对比

我用 jmh 简单做了一个非严格的性能测试，随手做的 看看就好，结果如下:

Benchmark                   Mode  Cnt       Score   Error  Units
RegexTest.dfaNonRecursion  thrpt    2  144462.917          ops/s
RegexTest.dfaRecursion     thrpt    2  169022.239          ops/s
RegexTest.nfa              thrpt    2   55320.181          ops/s

DFA 的匹配性能远高于 NFA，不过这里居然递归版还比非递归版快，有点出乎意料，详细测试代码已传至 Github https://github.com/xindoo/regex，欢迎查阅。

参考资料

• nfa 转 dfa

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