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最近咱们被客户要求撰写对于Nelson Siegel和线性插值模型的钻研报告，包含一些图形和统计输入。
保证金购买是指投资者先从银行或经纪人处借得资金购买证券，而所购买的证券作为借入资金的抵押
债券根底
- 零息债券是指以贴现形式发行，不附息票，而于到期日时按面值一次性领取本利的债券。
- 债券的票面价值 债券的票面价值又称面值,是债券票面表明的货币价值,是债券发行人承诺在债券到期日偿还给债券持有人的金额。
- 债券能够参考价格或收益率。例如，将领取100元的零息债券的价格能够是90元。但收益率将为（100−90）/90=11%，而不是10%。
- 债券收益率是投资于债券上每年产生出的收益总额与投资本金总量之间的比率。
- 债券能够在二级市场上交易（一级市场是债券发行过程）。如果利率减少，债券的价值就会减少，如果利率升高，债券的价值就会缩小，这仅仅是因为该债券是在利率扭转之前以便宜/低廉的价格发行的。也能够做空债券。
- 尽管冀望债券不会呈现负利率，但也不是齐全看不到。在危机期间，政府债券甚至公司债券都能够以负收益率交易(例如雀巢)。
债券定价
债券价格是通过应用票面利率和现金流来确定。
式中，CFt是t时的现金流，B（0，t）是贴现系数或0时价格
其中R（0，t）是在工夫为t时在工夫0的年度即期汇率。
B（0，t）也能够称为零息债券的价格。
咱们能够暗示零息票利率与市场上不同期限的债券。而后咱们能够用这些利率建设一个期限构造模型来为任何债券定价。严格违反期限构造可能是买入/卖出机会，也可能是套利机会。
calculate_bond_price<-function(face_value=1000,coupon_rate=0.05,maturity=1,yearly_coupons=0){
#该函数依据给定的债券B（0，t）的面值，到期日，年息率和等距付款来计算其价格
#如果 yearly_coupons == 0, 它只在到期时领取
#如果 yearly_coupons == 1, 每年领取一次
#如果 yearly_coupons == 2, 每半年领取一次
if(yearly_coupons==0){
face_value/((1+coupon_rate)^maturity)
}else{
face_value/((1+coupon_rate/yearly_coupons)^(yearly_coupons*maturity))
}
}
calculate_bond_price()
<!—->
## [1] 952.381
如果咱们有适合的证券，咱们也能够从息票领取债券中构建零息票债券。
- 1年期纯贴现债券在95发售。
- 两年期8％的债券售价99元。
2年期纯折价债券的价格为99-0.08（95）= 91.4。
复利类型
简略复利
假如利率为0.05，期限为2年。100美元的价格在到期时将是多少。
定期复利
如果将利息永恒增加到本金投资中，那么咱们的复利就是利率。假如雷同的示例，但每半年复算一次。
年名义利率为
间断复利
当初，假如复利的频率很高，以至于在两次加息之间的工夫距离是无限小（靠近零）。而后在极限状况下
因而，以咱们的示例为例，间断复利的年利率是
给定一组零息票债券价格，咱们能够计算间断收益率
#例如，债券价格为0.987，期限为半年。
calculate_yield(0.987,0.5)## [1] 0.02617048
远期汇率
假如有两个到期日不同的债券
能够重新排列成
imply_forward_rate<-function(R0t1=0.04,R0t2=0.045,t1=1,t2=2){
((1+R0t2)^t2/(1+R0t1)^t1)^(1/(t2-t1)) -1
}
imply_forward_rate()
<!—->
## [1] 0.05002404
到期日的相关性
利率不仅随着到期日变动，而且随着工夫变动。咱们还将调用某些数据和计算。
让咱们加载库并查看收益率曲线数据。
## R_3M R_6M R_1Y R_2Y R_3Y R_5Y R_7Y R_10Y
## 1981-12-31 12.92 13.90 14.32 14.57 14.64 14.65 14.67 14.59
## 1982-01-31 14.28 14.81 14.73 14.82 14.73 14.54 14.46 14.43
## 1982-02-28 13.31 13.83 13.95 14.19 14.13 13.98 13.93 13.86
## 1982-03-31 13.34 13.87 13.98 14.20 14.18 14.00 13.94 13.87
## 1982-04-30 12.71 13.13 13.34 13.78 13.77 13.75 13.74 13.62
## 1982-05-31 13.08 13.76 14.07 14.47 14.48 14.43 14.47 14.30
相关系数矩阵显示出收益率没有齐全相干。
| R\_3M | R\_6M | R\_1Y | R\_2Y | R\_3Y | R\_5Y | R\_7Y | R\_10Y | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| R\_3M | 1.0000000 | 0.9983390 | 0.9940045 | 0.9837559 | 0.9744780 | 0.9546189 | 0.9399504 | 0.9230412 |
| R\_6M | 0.9983390 | 1.0000000 | 0.9981715 | 0.9899820 | 0.9817197 | 0.9632268 | 0.9491761 | 0.9332366 |
| R\_1Y | 0.9940045 | 0.9981715 | 1.0000000 | 0.9959937 | 0.9900195 | 0.9746174 | 0.9621895 | 0.9478956 |
| R\_2Y | 0.9837559 | 0.9899820 | 0.9959937 | 1.0000000 | 0.9984844 | 0.9896811 | 0.9808896 | 0.9694621 |
| R\_3Y | 0.9744780 | 0.9817197 | 0.9900195 | 0.9984844 | 1.0000000 | 0.9958583 | 0.9896185 | 0.9804575 |
| R\_5Y | 0.9546189 | 0.9632268 | 0.9746174 | 0.9896811 | 0.9958583 | 1.0000000 | 0.9983629 | 0.9936744 |
| R\_7Y | 0.9399504 | 0.9491761 | 0.9621895 | 0.9808896 | 0.9896185 | 0.9983629 | 1.0000000 | 0.9981232 |
| R\_10Y | 0.9230412 | 0.9332366 | 0.9478956 | 0.9694621 | 0.9804575 | 0.9936744 | 0.9981232 | 1.0000000 |
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R语言应用随机技术差分进化算法优化的Nelson-Siegel-Svensson模型
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债券价格和收益率
在这一部分中，咱们将看到构建债券价格和收益率的办法。
间接法
假如您失去以下债券利率。请记住，名义汇率是100。
| 息票 | 到期 | 价格 | |
|---|---|---|---|
| 债券1 | 5.0 | 1个 | 101.0 |
| 债券2 | 5.5 | 2 | 101.5 |
| 债券3 | 5.0 | 3 | 99.0 |
| 债券4 | 6.0 | 4 | 100.0 |
零息债券价格（B（0，t）
而后咱们失去
get_zero_coupon()## $B0t
## [1] 0.9619048 0.9119386 0.8536265 0.7890111
##
## $R0t
## [1] 0.03960396 0.04717001 0.05417012 0.06103379
线性插值
R03<-0.055
R04<-0.06
R03p75<-((4-3.75)*0.055+(3.75-3)*0.06)/(4-3)
R03p75
<!—->
## [1] 0.05875
<!—->
##或应用R函数
yield_interpolate<-approxfun(x=c(3,4),y=c(0.055,0.06))
yield_interpolate(3.75)
<!—->
## [1] 0.05875
三次插值
假如咱们的费率如下：
#插值2.5年的债券
t_val<-2.5
sum(abcd_vec*((2.5)^(3:0)))## [1] 0.0534375
<!—->
## [1] 0.0534375
间接办法（Nelson Siegel）
尼尔森·西格尔（Nelson Siegel）模型是模仿利率收益率曲线的一种风行办法。
其中θ是到期日，β0是长期收益率，β1是斜率参数，β2是曲率参数，τ是比例参数。
ns_data <-
data.frame(maturity=1:30) %>%
mutate(ns_yield=nelson_siegel_calculate(theta=maturity,tau=3.3,beta0=0.07,beta1=-0.02,beta2=0.01))
head(ns_data)## maturity ns_yield
## 1 1 0.05398726
## 2 2 0.05704572
## 3 3 0.05940289
## 4 4 0.06122926
## 5 5 0.06265277
## 6 6 0.06376956
<!—->
ggplot(data=ns_data, aes(x=maturity,y=ns_yield)) + geom_point() + geom_line()
能够应用参数来更好地预计收益曲线。
Nelson Siegel参数的预计
Nelson Siegel曲线预计。
## beta_0 beta_1 beta_2 lambda
## 1981-12-31 14.70711 -5.3917409 3.269125 0.5123605
## 1982-01-31 14.35240 -0.7602066 2.834508 0.1887807
## 1982-02-28 13.74481 -0.9247232 2.681840 0.1236869
留神：咱们将lambda称为tau（ττ）（形态参数）。
Beta灵敏度
思考提供Fi将来现金流的债券价格 。因而，带有beta参数的价格变动如下。
nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=2)## Beta0 Beta1 Beta2
## -192.51332 -141.08199 -41.27936
<!—->
nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=7)
<!—->
## Beta0 Beta1 Beta2
## -545.4198 -224.7767 -156.7335
<!—->
nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=15)
<!—->
## Beta0 Beta1 Beta2
## -812.6079 -207.1989 -173.0285
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本文选自《用R语言用Nelson Siegel和线性插值模型对债券价格和收益率建模》。
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