23函数与方程

2.3.1 函数的零点

一，函数的零点：函数在坐标图中，满足 y=f(x)=0 时的点，即函数图像与 x 轴的交点
二，二次函数的零点
1. 二次函数的零点个数与其顶点的 y 轴位置和抛物线开口方向有关。
2. 在二次函数的一般式 y =ax²+bx+c,(a≠0),x∈R 中，其顶点位是(-b/2a,(4ac-b²)/4a)，a 会影响其开口方向，a>0 开口向上，a<0 则反之。

• a>0，(4ac-b²)<0 时，零点有 0 个
• a>0，(4ac-b²)=0 时，零点有 1 个
• a>0，(4ac-b²)<0 时，零点有 2 个
• a<0，则同理，反之

2.3.2 求函数的零点近似解的算法 - 二分法

一，二分法的运算流程
以 y =f(x) 为例，求其中的一个零点
1. 为自变量 x 取一个区间[x1,x2]，x1、x2 对应的因变量必须是异号，即一正一负。因为函数的坐标图像是连续的，所以在区间[x1,x2] 中至少会一个零点
2. 根据区间取 Δx=x2-x1 的中间值 x0，即 x0=Δx/2
3. 在 x1,x2 两个端点中获取与 x0 异号的端点 xn
4. 将 x0 作为新的端点，和 xn 拼成新的区间[x0,xn] 或者[xn,x0]
5. 按照第 1 步方法，继续取中点 x0。取的次数越多，x0 就越接近函数的零点。
二，二分法的存在意义：
1. 高于三次的函数就不再适合具体运算，而且高于四次的函数就不存在求根公式。
2. 二分法可以简单快速的获取一个相对精确的近似值。