23函数与方程

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2.3.1 函数的零点

一,函数的零点:函数在坐标图中,满足 y=f(x)=0 时的点,即函数图像与 x 轴的交点
二,二次函数的零点
1. 二次函数的零点个数与其顶点的 y 轴位置和抛物线开口方向有关。
2. 在二次函数的一般式 y =ax²+bx+c,(a≠0),x∈R 中,其顶点位是(-b/2a,(4ac-b²)/4a),a 会影响其开口方向,a>0 开口向上,a<0 则反之。

  • a>0,(4ac-b²)<0 时,零点有 0 个
  • a>0,(4ac-b²)=0 时,零点有 1 个
  • a>0,(4ac-b²)<0 时,零点有 2 个
  • a<0,则同理,反之

2.3.2 求函数的零点近似解的算法 - 二分法

一,二分法的运算流程
以 y =f(x) 为例,求其中的一个零点
1. 为自变量 x 取一个区间[x1,x2],x1、x2 对应的因变量必须是异号,即一正一负。因为函数的坐标图像是连续的,所以在区间[x1,x2] 中至少会一个零点
2. 根据区间取 Δx=x2-x1 的中间值 x0,即 x0=Δx/2
3. 在 x1,x2 两个端点中获取与 x0 异号的端点 xn
4. 将 x0 作为新的端点,和 xn 拼成新的区间[x0,xn] 或者[xn,x0]
5. 按照第 1 步方法,继续取中点 x0。取的次数越多,x0 就越接近函数的零点。
二,二分法的存在意义:
1. 高于三次的函数就不再适合具体运算,而且高于四次的函数就不存在求根公式。
2. 二分法可以简单快速的获取一个相对精确的近似值。

正文完
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