研究背景
阵列信号处理作为信号处理的一个重要分支，在通信、雷达、声纳、地震勘探和射电天文等领域内获得了广泛应用和迅速发展。阵列信号处理将一组传感器按一定方式布置在空间不同位置上，形成传感器阵列。用传感器阵列来接收空间信号，相当于对空间分布的场信号采样，得到信号源的空间离散观测数据。其目的主要是对阵列接收到的信号进行处理，增强所需要的有用信号，抑制无用的干扰和噪声，并提取有用的信号特征以及信号所包含的信息。其主要应用包含以下五个方面
- 波束形成技术：使阵列天线方向图的主瓣指向所需的方向
- 零点形成技术：使天线的零点对准干扰方向。
- 空间谱估计：对空间信号波达方向进行超分辨率估计，主要是因为空间谱估计技术具有超高的空间信号的分辨能力，能突破并进一步改善一个波束宽度内空间不同来自信号的分辨能力。
- 信号源估计：确定阵列到信源的仰角和方位角，甚至频率、时延和距离等
- 信源分离：确定各个信源发出的信号波形，各个信源从不同方向到达阵列，使得这些信号可以分离，即便在时域和频域是叠加的，也可以进行分离。
接下来主要介绍空间谱估计。
空间谱估计方法
阵列信号处理的另一个基本问题是空间信号到达方向估计问题，也是雷达、声纳等许多领域的重要任务。DOA 估计的基本问题就是确定同时处于空间某一区域内多个感兴趣的信号的空间位置（即各个信号到达阵列参考阵元的方向角，简称波达方向）。空间谱估计的基本理论离不开阵列信号处理的基本原理，即通过空间阵列接收数据的相位差来确定一个或者几个待估计的参数，如方位角、俯仰角和信号源数。估计的分辨率取决于阵列长度，阵列长度确定后，其分辨率也被确定。称为瑞丽限。超瑞利限的方法称为超分辨率方法，最早的超分辨率方法主要有 MUSIC 和 ESPRIT 算法。它们同属特征结构的子空间方法。该方法建立在这样一个基本观察上，若传感器个数比信源个数多，则阵列数据的信号分量一定位于一个低秩的子空间，在一定条件下，这个子空间将唯一确定信号的波达方向，并且可以使用数值稳定的奇异值分解精确的确定波达方向。
空间谱数学模型
空间谱估计就是利用空间阵列实现空间信号的参数估计，整个空间谱估计系统由三部分组成：空间信号入射、空间阵列接收、参数估计。相应的可分为三个空间，目标空间、观察空间和估计空间。
- 目标空间：由信号源的参数与复杂环境参数张成的空间，对于空间谱系统就是利用特定的一些方法从这个复杂的目标空间中估计出信号的未知参数
- 观察空间：利用空间按照一定方式排列的阵元来接收目标空间的辐射信号
- 估计空间：利用空间谱估计技从复杂的观察数据中提取信号的特征参数。
考虑
N个远程的窄带信号入射到某空间阵列上，其中阵列天线由M个阵元组成。(假设阵元数等于通道数)，也就是说处理来自M个通道的数据。在信号源是窄带的前提下，信号可以表示如下
$$
s_{i}(t)=u_{i}(t)*e^{j(w_{0}t+\psi(t))}\\s_{i}(t-\tau)=u_{i}(t-\tau)e^{j(w_{0}(t-\tau)+\psi(t-\tau))}
$$
式 $u_{i}(t)$ 是接收信号的幅度，$\psi(t)$ 是接收信号的相位，$w_{0}$ 是接收信号的频率。在窄带远场信号源的假设下，有如下式子成立
$$
u_{i}(t-\tau)\approx u_{i}(t)\\\psi(t-\tau)\approx\psi(t)
$$
那么有如下式子成立
$$
s_{i}(t-\tau)\approx s_{i}(t)*e^{-jw_{0}\tau}\quad i=0,1,\cdots,N
$$
那么可以得到第 ll 个阵元的接收信号为
$$
x_{i}(t)=\sum_{i=1}^{N}g_{li}s_{i}(t-\tau_{i})+n_{i}(t)\quad i=0,1,\cdots,M
$$
式子中 $g_{li}$ 为第 ll 个阵元对第 $i$ 个信号的增益，$n_{i}(t)$ 表示第 $i$ 个阵元在 $t$ 时刻的噪声，$\tau_{li}$ 表示第 $i$ 个信号到达第 $l$ 个阵元时相对于参考阵元的时延。利用矩阵表示如下
$$
\left[\begin{matrix} x_{1}(t)\\ x_{2}(t)\\ \vdots\\ x_{M}(t)\\ \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} g_{11}e^{-jw_{0}\tau_{11}}&g_{12}e^{-jw_{0}\tau_{12}}&\cdots&g_{1N}e^{-jw_{0}\tau_{1N}}\\ g_{21}e^{-jw_{0}\tau_{21}}&g_{22}e^{-jw_{0}\tau_{22}}&\cdots&g_{2N}e^{-jw_{0}\tau_{2N}}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ g_{M1}e^{-jw_{0}\tau_{M1}}&g_{M2}e^{-jw_{0}\tau_{M2}}&\cdots&g_{MN}e^{-jw_{0}\tau_{MN}}\\ \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} s_{1}(t)\\ s_{2}(t)\\ \vdots\\ s_{N}(t)\\ \end{matrix} \right] + \left[\begin{matrix} n_{1}(t)\\ n_{2}(t)\\ \vdots\\ n_{M}(t)\\ \end{matrix} \right]
$$
理想情况下，假设阵列中各阵元是各向同性的且不存在通道不一致、互耦等因素的影响，那么上式中的增益可以忽略，可以简化为
$$
\left[\begin{matrix} x_{1}(t)\\ x_{2}(t)\\ \vdots\\ x_{M}(t)\\ \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} e^{-jw_{0}\tau_{11}}&e^{-jw_{0}\tau_{12}}&\cdots&e^{-jw_{0}\tau_{1N}}\\ e^{-jw_{0}\tau_{21}}&e^{-jw_{0}\tau_{22}}&\cdots&e^{-jw_{0}\tau_{2N}}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ e^{-jw_{0}\tau_{M1}}&e^{-jw_{0}\tau_{M2}}&\cdots&e^{-jw_{0}\tau_{MN}}\\ \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} s_{1}(t)\\ s_{2}(t)\\ \vdots\\ s_{N}(t)\\ \end{matrix} \right] + \left[\begin{matrix} n_{1}(t)\\ n_{2}(t)\\ \vdots\\ n_{M}(t)\\ \end{matrix} \right]
$$
写成矢量形式为
$$
X(t)=AS(t)+N(t)
$$
在上式中，X(t)为阵列的 M×1 维快拍数据矢量，N(t)为阵列的 M×1 维噪声数据矢量，S(t)维空间信号的 N×1 维矢量，A 为空间阵列的 M×N 维流型矩阵（导向矩阵）。上述模型在阵列信号处理中十分有用。