在我们初、高中和大学近 10 年的学习时间里，数学一直占据着非常大的分量，但是回忆过去可以发现，我们把大量的时间都花在反复解题、不断运算上，计算方法、运算技巧、笔算能力以及数学公式的记忆仿佛成了我们学习数学的全部。这些记忆和技巧没几年就忘掉了，但很多人甚至还记得那份阴影；笔算与解题在 AI、图形图像、数据分析等上被软件所取代。那我们学生时代的数学还剩下什么呢？
计算器与数学
说起数学计算器，我们常见的是加减乘除四则运算，有了它，我们就可以摆脱笔算和心算的痛苦。四位数以上的加减乘除在数学的原理上其实并不难，但是如果不借助于计算器，光依赖我们的运算能力（笔算和心算），不仅运算的准确度大打折扣，而且还会让我们对数学的运用停留在一个非常浅的层次。
尽管四则运算如此简单，但是多位数运算的心算却在我们生活中被归为天才般的能力。但是数学的应用应该生活化、普及化，而不是只属于天才的专利，计算器改变了这一切，这就是计算器的魅力。计算器还可以做科学运算，比如乘方、开方、指数、对数、三角函数等，尽管这些知识在我们初中时代，通过纸笔也是能运算起来的，但是也仅限于一些极其常用和简单的运算，一旦复杂起来，通过纸笔来运算就是一项复杂的工程了。所以说，计算器可以让我们离数学的应用更近。
但是我们学生时代所学的数学可远不止这些，尤其是高等数学（微积分）、线性代数、概率统计等数学知识应用非常广泛（我也是后来才知道），但是由于他们的运算非常复杂，我们即便掌握了这些知识，想要应用它又谈何容易，那有没有微积分、线性代数、概率统计等的计算器呢？
答案是有的，它们就是计算机代数系统 Computer Algebra System，简称 CAS，Python 的 Sympy 库也支持带有数学符号的微积分、线性代数等进行运算。
有了计算器，我们才能真正脱离数学复杂的解题本身，把精力花在对数学原理和应用的学习上，而这才是（在工作方面）数学学习的意义。
计算机代数系统
Sympy 可以实现数学符号的运算，用它来进行数学表达式的符号推导和验算，处理带有数学符号的导数、极限、微积分、方程组、矩阵等，就像科学计算器一样简单，类似于计算机代数系统 CAS，虽然 CAS 通常是可视化软件，但是维基百科上也把 Sympy 归为 CAS。
几大知名的数学软件比如 Mathematica、Maxima、Matlab(需 Symbolic Math Toolbox)、Maple 等都可以做符号运算，在上篇文章中我们已经拿 Python 和 R、Matlab 对比了，显然 Python 在指定场景下确实优势非常明显，于是我又调研了一下 Sympy 与 Mathematica 的比较，在输入公式以及生成图表方面，Sympy 确实不行（这一点 Python 有其他库来弥补），Mathematica 能够做什么，Sympy 基本也能做什么。
所以说 Python 在专业数学（数学、数据科学等）领域，由于其拥有非常多而且强大的第三方库，构成了一个极其完善的生态链，即使是面对世界上最为强势最为硬核的软件也是丝毫不虚的。
本专栏用 Python 学数学的下一期也会介绍一些非常实用的数学工具和数学教材资源，让数学的学习更简单更生动。
Sympy 的符号运算
如果之前是学数学相关专业了解计算机代数系统 CAS，就会对数学符号的运算比较熟悉，而如果之前是程序员，可能会有点不太明白，下面我们就来了解一下。
Sympy 与 Math 函数的区别
我们先来看一下 Sympy 库和 Python 内置的 Math 函数对数值计算的处理有什么不同。为了让代码可执行，下面的代码都是基于 Python3 的完整代码。
import sympy,math
print(math.sqrt(8))
print(sympy.sqrt(8))
执行之后，结果显示为：
2.8284271247461903
2*sqrt(2)
math 模块是直接求解出一个浮点值，而 Sympy 则是用数学符号表示出结果，结合 LaTex 的语法就可以得出我们在课本里最熟悉的的：$2\sqrt{2}$。
数学符号与表达式
我们要对数学方程组、微积分等进行运算时，就会遇到变量比如 x,y,z,f 等的问题，也会遇到求导、积分等代数符号表达式，而 Sympy 就可以保留变量，计算有代数符号的表达式的。
from sympy import *
x = Symbol(‘x’)
y = Symbol(‘y’)
k, m, n = symbols(‘k m n’)
print(3*x+y**3)
输出的结果为：3*x + y**3，转化为 LaTex 表示法之后结果为 $3x+y^3$，输出的结果就带有 x 和 y 变量。Symbol() 函数定义单个数学符号；symbols() 函数定义多个数学符号。
折叠与展开表达式
factor() 函数可以折叠表达式，而 expand() 函数可以展开表达式，比如表达式：$x^4+xy+8x$，折叠之后应该是 $x(x^3+y+8)$。我们来看具体的代码：
from sympy import *
x,y = symbols(‘x y’)
expr=x**4+x*y+8*x
f_expr=factor(expr)
e_expr=expand(f_expr)
print(f_expr)
print(e_expr)
表达式的折叠与展开，对应的数学知识就是因式分解，相关的数学知识在人教版初二的教程里。用 Python 学习数学专栏的目的就是要 Python 与初高中、大学的数学学习结合起来，让数学变得更加简单生动。
表达式化简
simplify() 函数可以对表达式进行化简。有一些表达式看起来会比较复杂，就拿人教版初二上的一道多项式的乘法为例，简化 $(2x)^3(-5xy^2)$。
from sympy import *
x,y = symbols(‘x y’)
expr=(2*x)**3*(-5*x*y**2)
s_expr=simplify(expr)
print(s_expr)
求解方程组
在人教版的数学教材里，我们初一上会接触一元一次方程组，初一下就会接触二元一次方程、三元一次方程组，在初三上会接触到一元二次方程，使用 Sympy 的 solve() 函数就能轻松解题。
解一元一次方程
我们来求解这个一元一次方程组。(题目来源于人教版七年级数学上)$$6 \times x + 6 \times(x-2000)=150000$$
from sympy import *
x = Symbol(‘x’)
print(solve(6*x + 6*(x-2000)-150000,x))
我们需要掌握 Python 的代码符号和数学符号之间的对应关系, 解一元一次方程就非常简单。
解二元一次方程组
我们来看如何求解二元一次方程组。（题目来自人教版七年级数学下）
$$
\begin{cases}
x+ y =10,\\
2 \times x+ y=16
\end{cases}
$$
from sympy import *
x,y = symbols(‘x y’)
print(solve([x + y-10,2*x+y-16],[x,y]))
很快就可以得出 {x: 6, y: 4}，也就是 $$x=6,y=4$$。
解三元一次方程组
我们来看如何解三元一次方程组。（题目来自人教版七年级数学下）
$$
\begin{cases}
x+y+z=12,\\
x+2y+5z=22,\\
x=4y.
\end{cases}
$$
执行之后，很快可以得出结果 {x: 8, y: 2, z: 2}，也就是 $$x=8,y=2,z=2$$
解一元二次方程组
比如我们来求解人教版九年级一元二次方程组比较经典的一个题目，$ax^2+bx+c=0$.
from sympy import *
x,y = symbols(‘x y’)
a,b,c=symbols(‘a b c’)
expr=a*x**2 + b*x + c
s_expr=solve(expr, x)
print(s_expr)
执行之后得出的结果为 [(-b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a), -(b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a)], 我们知道根与系数的关系二次方程会有两个解，这里的格式就是一个列表。转为我们常见的数学公式即为：$$\frac{-b+\sqrt{-4ac+b^2}}{2a}、-\frac{b+\sqrt{-4ac+b^2}}{2a}$$
微积分 Calculus
微积分是大学高等数学里非常重要的学习内容，比如求极限、导数、微分、不定积分、定积分等都是可以使用 Sympy 来运算的。求极限 Sympy 是使用 limit(表达式，变量，极限值) 函数来求极限的，比如我们要求 $\lim \limits_{x \to 0} \frac{sinx(x)}{x}$ 的值。
from sympy import *
x, y, z = symbols(‘x y z’)
expr = sin(x)/x
l_expr=limit(expr, x, 0)
print(l_expr)
执行后即可得到结果为 1。
求导
可以使用 diff(表达式, 变量, 求导的次数) 函数对表达式求导，比如我们要对 $sin(x)e^x$ 进行 $x$ 求导，以及求导两次，代码如下：
from sympy import *
x,y = symbols(‘x y’)
expr=sin(x)*exp(x)
diff_expr=diff(expr, x)
diff_expr2=diff(expr,x,2)
print(diff_expr)
print(diff_expr2)
求导一次的结果就是 exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x)，也就是 $e^xsin(x)+e^xcos(x)$；求导两次的结果是 2 *exp(x)*cos(x)，也就是 $$2e^xcosx$$
求不定积分
Sympy 是使用 integrate(表达式, 变量) 来求不定积分的，比如我们要求 $\int(e^x\sin{(x)} + e^x\cos{(x)})\,dx$
from sympy import *
x,y = symbols(‘x y’)
expr=exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x)
i_expr=integrate(expr,x)
print(i_expr)
执行之后的结果为：exp(x)*sin(x) 转化之后为：$$e^xsin(x)$$
求定积分
Sympy 同样是使用 integrate() 函数来做定积分的求解，只是语法不同：integrate( 表达式,（变量, 下区间, 上区间))，我们来看如果求解 $\int_{-\infty}^\infty \sin{(x^2)}\,dx$
from sympy import *
x,y = symbols(‘x y’)
expr=sin(x**2)
i_expr=integrate(expr, (x, -oo, oo))
print(i_expr)
执行之后的结果为 sqrt(2)*sqrt(pi)/2，也就是 $$\frac{\sqrt{2}\sqrt{\pi}}{2}$$
Sympy 能够做的也远不止这些，初高中、大学的数学运算题在 Sympy 极为丰富的功能里不过只是开胃入门小菜而已。