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如果我还没有使你已经确信范畴论就是所有和态射有关的东西，那就是我的失职。因为下一个主题是伴随，而伴随是用 hom 集的同构定义的，所以回顾一下有关 hom 集的那些积木是很有意义的。而且你会看到伴随为描述我们之前研究的很多构造提供了一种更一般的语言，所以复习一下它们也很有必要。
函子
首先，你其实应该把函子看作态射的映射——这个观点有在 Haskell 的 Functor 类型类的定义中得到强调，也就是 fmap。当然，函子也映射对象——态射的端点——否则我们就没法谈论保持复合。对象告诉了我们哪些态射对是可复合的。其中一个态射的终点必须等于另一个态射的起点——如果它们能复合。所以如果我们想把态射的复合映为提升后的态射的复合，端点的映射就很大程度上被决定了。
交换图
态射的很多性质都是用交换图的方式表达的。如果一个特定的态射被以超过一种方式描述为其他态射的复合，那么我们就有一个交换图了。
特别地，交换图构成了几乎所有泛构造的基础（初始对象和终端对象是明显的例外）。我们已经在积、余积、很多其他（余）极限、指数对象和自由幺半群等等的定义中看到过它了。
积是泛构造的一个简单例子。我们挑选两个对象 a 和 b，看看是否存在一个带上一对态射 p 和 q 的具有成为它们积的泛性质的对象 c。
积是极限的一个具体例子。极限是用锥的观念定义的。泛锥是构建在交换图之上的。这些图表的交换性可以被一个恰当的函子的映射的自然性条件所代替。这种方式下交换性被降为了汇编语言的角色，而高级语言是自然变换。
自然变换
一般来说，当我们需要从态射映为交换四方图的时候，自然变换会非常方便。自然四方图的两个对边是某个态射 f 在两个函子 F 和 G 作用下的像。另外的边则是自然变换的分量（当然这也是态射）。
自然性意味着当你移动到“相邻”分量（相邻的意思是说由一个态射连接）上时，你不会违背范畴的结构，也不会违背这两个函子的。你是先用自然变换的分量桥接对象，再用函子跳到它的邻居上；还是反过来，这一点关系也没有。这两个方向是正交的。自然变换让你左右移动，函子让你上下活着前后移动——打个比方说。你可以设想一个函子的像就是靶范畴里的一页纸。自然变换就把对应于 F 的这样一页纸映为另一页对应于 G 的。