一篇文章学会二叉树和二叉查找树

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树是计算机科学中经常用到的一种数据结构。树是一种非线性的数据结构，以分层的方式存储数据。

树被用来存储具有层级关系的数据，比如文件系统中的文件。

树还可以用来存储有序列表。

树的定义

树是由一组以边连接的节点组成。公司的组织结构图就是一个树的例子。


组织结构图就是一种树

一棵树最上面的节点成为根节点。如果一个节点下面连接着多个节点，那么该节点称为父节点，它下面的节点称为子节点。一个节点可以有 0 个，1 个或者多个子节点。没有任何子节点的节点称为叶子节点。下图展示了一些树的术语。

沿着一组特定的边，可以从一个节点走到另外一个与它不直接相连的节点。从一个节点到另一个节点的这一组边称为路径。以特定的顺序访问树中所有的节点称为树的遍历。

树可以分为几个层次，根节点是第 0 层，它的子节点是第 1 层，子节点的子节点是第 2 层，以此类推。树中任何一层的节点都可以看成是子树的根，该子树包含根节点的子节点，子节点的子节点等。我们定义树的层数就是树的深度。

节点的高度：节点到叶子节点的最长路径（边树）。
节点的深度：根节点到这个节点所经历的边的个数。
节点的层数：节点的深度 +1。
节点的高度：根节点的高度。

下面举个例子来看：

每一个节点都有一个与之关联的值，该值有时被称为键。

二叉树是一种特殊的树。它的子节点不超过 2 个。二叉树具有一些特殊的计算性质，使得在它之上的一些操作异常高效。

二叉树和二叉查找树

一个父节点的两个子节点分别称为左节点和右节点。左节点包含一组特定的值，右节点包含一组特定的值。

下图展示了一颗二叉树：

当考虑某种特殊的二叉树，比如二叉查找树时，确定子节点非常重要。二叉查找树是一种特殊的二叉树，相对较小的值保存在左节点中，较大的值保存在右节点中。这一特性使得查找的效率很高，对于数值和非数值的数据，比如单词和字符串，也是如此。

我们来看下图中的树：

编号 2 的二叉树中，叶子节点全在最底层，除了叶子节点以外的每个节点都有左右两个子节点，这种二叉树叫做 满二叉树。

编号 3 的二叉树中，叶子节点都在最底下两层，最后一层的叶子节点都靠左排列，并且除了最后一层，其它层的节点个数都达到最大，这种二叉树叫做 完全二叉树。

实现二叉查找树（BST）

定义 Node 对象。

function node(data, left, right) {
    this.data = data;
    this.left = left;
    this.right = right;
    this.show = show;

    function show() {return this.data;}
}

现在可以创建一个 BST 类来表示二叉查找树。我们让类只包含一个数据成员：一个表示二叉查找树根节点的 Node 对象。该类的构造函数将根节点初始化为 null，以此创建一个空节点。

BST 首先要有一个 insert() 方法，用来向树中插入新节点。首先要创建一个 Node 对象，将数据传入该对象保存。
其次，检查 BST 是否有根节点，如果没有，则这是棵新树，该节点就是根节点，这个方法到此也就结束了；否则，进入下一步。

如果待插入节点不是根节点，那么就准备遍历 BST，找到插入的适当位置。该过程类似遍历链表。用一个节点保存当前节点，一层层地遍历 BST。

进入 BST 以后，下一步就需要确定将该节点放在什么位置。找到正确的插入点时，会跳出循环。

查找正确的插入点的算法如下：

  1. 设根节点为当前节点；
  2. 如果待插入的节点小于当前节点，则设新的当前节点为原节点的左节点；反之，执行第四步；
  3. 如果当前节点的左节点为 null，就将新的节点插入这个位置，退出循环；反之，继续执行下一次循环；
  4. 设新的当前节点为原节点的右节点；
  5. 如果当前节点的右节点为 null，就将新的节点插入该位置，退出循环；反之，继续执行下一次循环。

function BST() {
    this.root = null;
    this.insert = insert;
  
    function insert(data) {var n = new Node(data, null, null);
        if(this.root == null) {this.root = n;}else {
            var currentNode = this.root;
            var parent;
            while(true) {
                parent = currentNode;
                if(data < currentNode.data) {
                    currentNode = currentNode.left;
                    if(currentNode == null) {
                        parent.left = n;
                        break;
                    }
                }else {
                    currentNode = currentNode.right;
                    if(currentNode.data == null) {
                        parent.right = n;
                        break;
                    }
                }
            }
        }
    }
  
}

另外一个写法，其实思路是一样的，但是上面的稍微简洁一些。（代码思路来自王争老师的《数据结构与算法之美》）

function insert(data) {var node = new Node(data, null, null);
        if(this.root == null) {this.root = node;}else {
            p = this.root;
            while(p !== null) {if(data < p.data) {if(p.left == null) {
                        p.left = node;
                        return;
                    }
                    p = p.left;
                }else {if(p.right == null) {
                        p.right = node;
                        return;
                    }
                    p = p.right;
                }
            }
        }
    }

遍历二叉查找树

有三种遍历二叉树的方法：中序、先序、后序。

中序遍历按照节点上的键值，以升序访问 BST 上的所有节点。
先序遍历先访问根节点，然后以同样的方式访问左子树和右子树。
后序遍历先访问叶子节点，从左子树到右子树，再到根节点。

先序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后在打印它的左子树，最后打印它的右子树。
中序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后打印它自己，最后打印它的右子树。
后序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后打印它的右子树，最后打印它自己。

中序遍历的代码如下：

function inOrder(node) {if(!(node == null)) {this.inOrder(node.left);
            console.log(node.show());
            this.inOrder(node.right);
        }
    }

var bst = new BST();
bst.insert(17)
bst.insert(19)
bst.insert(16)
bst.insert(34)
bst.insert(35)
bst.insert(36)
bst.inOrder(bst.root); // 16 17 19 34 35 36

下图展示中序遍历的访问路径：

先序遍历的代码如下：

function perOrder(node) {if(!(node == null)) {console.log(node.show());
            this.perOrder(node.left);
            this.perOrder(node.right);
        }
}

var bst = new BST();
bst.insert(17)
bst.insert(19)
bst.insert(16)
bst.insert(34)
bst.insert(35)
bst.insert(36)
console.log('先序遍历');
bst.perOrder(bst.root); // 17 16 19 34 35 36

下图展示先序遍历的访问路径：

后序遍历的代码：

var bst = new BST();
bst.insert(17)
bst.insert(19)
bst.insert(16)
bst.insert(34)
bst.insert(35)
bst.insert(36)

console.log('后序遍历');
bst.postOrder(bst.root); // 16 36 35 34 19 17

下图展示后序遍历的访问路径：

在二叉树上进行查找

对 BST 通常有以下三种类型的查找：

  • 查找给定值
  • 查找最大值
  • 查找最小值

查找最小值和最大值

因为较小的值总在左节点上，在 BST 上查找最小值，只需要遍历左子树，知道找到最后一个节点即可。

function getMin() {
        let currentNode = this.root;
        while(currentNode.left != null) {currentNode = currentNode.left;}
        return currentNode.data;
    }

在 BST 上查找最大值，只需要遍历右子树，知道找到最后一个节点即可。

function getMax() {
        let currentNode = this.root;
        while(currentNode.right != null) {currentNode = currentNode.right;}
        return currentNode.data;
    }

查找给定值

在 BST 上查找给定的值，需要比较该值和当前节点值的大小。通过比较，就能确定如果给定值不在当前节点上，该向左遍历还是向右遍历。

function find(data) {
        var currentNode = this.root;
        while(currentNode != null) {if(currentNode.data == data) {return currentNode;}else if(currentNode.data < data) {currentNode = currentNode.right;}else {currentNode = currentNode.left;}
        }
        return null;
    }

如果找到给定值，该方法返回保存该值的方法；如果没找到，该方法返回 null。

从二叉树上删除节点

从 BST 上删除节点的操作最复杂，其复杂程度取决于删除哪个节点。如果删除没有子节点的节点，那么非常简单。如果节点只有一个子节点，就变得稍微复杂了。如果节点有两个子节点，是最复杂的。

分三种情况来处理：

  • 如果要删除的节点没有子节点，我们只需要将父节点中，指向要删除的节点的指针置为 null。比如图中删除节点 55。
  • 如果要删除的节点只有一个子节点（左子节点或者右子节点），我们只需要更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图中删除节点 13。
  • 如果要删除的节点有两个子节点，我们需要找到这个节点右子树中的最小节点，把它替换到要删除节点上，然后再删除这个最小节点，因为最小节点中肯定没有左子节点，我们可以用这两个规则来进行删除操作，比如图中删除节点 18。

function deleteNode(data) {
        var p = this.root; // p 指向删除的节点，初始化为根节点
        var pp = null; // pp 记录 P 的父节点
        while(p != null && p.data != data) {
            pp = p;
            if(data > p.data) {p = p.right;}else {p = p.left;}
        }
        if(p == null) return; // 没有找到

        if(p.left != null && p.right != null) { // 要删除的节点有两个子节点
            // 查找右子树中的最小节点
            var minP = p.right;
            var minPP = p; // minPP 表示 minP 的父节点
            while(minP.left != null) {
                pnode = minP;
                minP = p.left;
            }
            p.data = minP.data; // 将 minP 的数据替换到 p 中
            p = minP; // 下面就变成删除 minP 了
            pp = minP;

        }
        // 删除节点是叶子节点或者只有一个子节点
        var childNode = null;
        if(p.left != null) {childNode = p.left;}else if(p.right != null) {childNode = p.right;}else {chiildNode = null;}
        if(pp == null) {p = chiildNode; // 删除的是根节点}else if(pp.left == p) {pp.left = childNode;}else {pp.right = childNode;}
    }

实际上，关于二叉树的删除操作，还有个非常简单、取巧的方法，就是单纯地将已删除的节点标记为“已删除”，但并不是真正的删除。这样原本要删除的元素还存储在内存中，比较浪费内存空间，但是删除操作简单了很多，也没有增加插入和查找的代码实现的难度。

其他

二叉查找树还有一个重要的特性，就是中序遍历二叉查找树，可以输入有序的数据序列，时间复杂度是O(n)，非常高效。因此二叉查找树也被叫做二叉排序树。

正文完
算法-数据结构
发表至： javascript
2019-05-14
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