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作者：刘洋
在 js 中进行数学的运算时，会出现 0.1+0.2=0.300000000000000004 的结果，一开始认为是浮点数的二进制存储导致的精度问题，但这似乎不能很好的解释为什么在同样的存储方式下 0.3+0.4=0.7 可以得到正确的结果。本文主要通过浮点数的二进制存储及运算，和 IEEE754 下的舍入规则，解释为何会出现这种情况。
一、浮点数的二进制存储
JavaScript 遵循 IEEE754 标准，在 64 位中存储一个数据的有效数字形式。
其中，第 0 位为符号位，0 表示正数 1 表示负数；第 1 到 11 位存储指数部分；第 12 到 63 位存小数部分（尾数部分）（即有效数字）。由于二进制的有效数字总是表示为 1.xxx…的形式，尾数部分在规约形式下的第一位默认为 1，故存储时第一位省略不写，尾数部分 f 存储有效数字小数点后的 xxx…，最长 52 位。因此，JavaScript 提供的有效数字最长为 53 个二进制位（尾数部分 52 位 + 被省略的 1 位）。
以 0.1、0.2、0.3、0.4 和 0.7 的二进制形式为例：
0.1->0.0001100110011...(0011 无限循环)->0-01111111011-(1 .)1001100110011001100110011001100110011001100110011010(入)
0.2->0.001100110011...(0011 无限循环)->0-01111111100-(1 .)1001100110011001100110011001100110011001100110011010(入)
0.3->0.01001100110011...(0011 无限循环)->0-01111111101-(1 .)0011001100110011001100110011001100110011001100110011(舍)
0.4->0.01100110011...(0011 无限循环)->0-01111111101-(1 .)1001100110011001100110011001100110011001100110011010(入)
0.7->0.101100110011...(0011 无限循环)->0-01111111110-(1 .)0110011001100110011001100110011001100110011001100110(舍)
对于 52 位之后进行舍入运算，此时可看作 0 舍 1 入（具体舍入规则在第三部分详细说明），有精度损失。
二、对阶运算
由于指数位数不同，运算时需要进行对阶运算。对阶过程略，0.1+0.2 与 0.3+0.4 的尾数求和结果分别如下：
0.1+0.2->10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111
0.3+0.4->10.1100110011001100110011001100110011001100110011001101
求和结果需规格化（有效数字表示），右规导致低位丢失，此时需对丢失的低位进行舍入操作：
0.1+0.2->1.00110011001100110011001100110011001100110011001100111->1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100(入)
0.3+0.4->1.01100110011001100110011001100110011001100110011001101->1.0110011001100110011001100110011001100110011001100110(舍)
即：
00111->0100
01101->0110
此处同样有精度损失。在这里我们可以发现，0.3+0.4 对阶阶运算且规格化后的运算结果与 0.7 在二进制中的存储尾数相同（可对照尾数后几位），而 0.1+0.2 的运算结果与 0.3 的存储尾数不同，且 0.1+0.2 转化为十进制时结果为 0.300000000000000004。
此时，虽然 0.1+0.2 与 0.3+0.4 进行舍入操作的近似位都为 1，但一入一舍导致计算结果与“标准答案”的异同。
三、IEEE754 标准下的舍入规则
维基百科对最近偶数舍入原则的解释如下：舍入到最接近，在一样接近的情况下偶数优先（Ties To Even，这是默认的舍入方式），即会将结果舍入为最接近（精度损失最小）且可以表示的值，但是当存在两个数一样接近的时候，则取其中的偶数（在二进制中是以 0 结尾的）。
首先要注意的是，保留小数不是只看后面一位或者两位，而是看保留位后面的所有位。
如图，可以看到近似需要看三位，保留位（近似后的最低位）、近似位（保留位的后一位）、粘滞位（sticky bit 近似位后的所有位进行或运算后看作一位）。
当粘滞位为 1 时，舍入规则可以看作 0 舍 1 入，近似位为 0 舍，近似位为 1 入（即第一部分小数二进制存储为 52 位尾数时所进行的舍入操作）。
当粘滞位为 0 时，若近似位为 0 则舍去。
当粘滞位为 0 时，若近似位为 1，无论舍入精度损失都相同，故需取舍入两种结果中的偶数：保留位为 1 时入，保留位为 0 时舍（即第二部分对阶运算规格化时的舍入操作）。
四、总结思考
由于 IEEE754 标准，这样的“bug”不止在 JavaScript 中会出现，在所有采用该标准的语言中都会存在，实际编程中可以通过设置精度保留位数等方式解决。
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