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首发于 樊浩柏科学院
自如寓打算门口用砖头围立一个蓄水池子，从上面看凹凸不平，凹的地方会有积水。那如果用数字代表每个砖头的高度，就形成一个二维数据（如示例），请问这个池子能存储多少单位的水？
例如二维数组为：
9 9 9 93 0 0 97 8 2 6 时，答案是中间的 0,0 位置可以存储 2（因为其外面最低是 2）个单位的水，因此答案为 2 + 2 = 4。
示例：输入：[1 1 1 1,1 0 0 1,1 1 1 1] 输出：2 输入：[12 11 12 0 13,12 9 8 12 12,13 10 0 3 15,19 4 4 7 15,19 4 3 0 15,12 13 10 15 13] 输出：58
解题思路
这道题是所有题中困惑我时间最长的题，一开始思维禁锢在想直接通过找到每块砖的四周有效最低砖高度 $H_{min}$，然后这块砖所剩的水为 $w[i][j] = H_{min}-h[i][j]$($h[i][j]$ 为砖的高度，i 和 j 为砖的位置坐标 )，因此蓄水池能蓄下的水为 $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n w[i][j]$。经过一番尝试，发现寻找某块砖四周最低有效砖逻辑比较复杂，且不易理解，又尝试过使用回溯算法寻找出池子中的所有连通图，但是也未有果。
最后，发现基础平台一位同学的实现思路很清晰，我认为他的实现是最合适的，所以研究了一下。该实现中机智地采用逆向思维，首先往池子注满水（最高砖的高度），然后再通过条件判定每块砖是否需要进行漏水，一直到没有砖需要进行漏水操作。
实现思路如下：
找出高度最高的砖，高度记为 $H_{max}$；
对除去边界的砖进行注水操作，每块砖加水量为 $w[i][j] = H_{max} – h[i][j]$（$h[i][j]$ 为砖的高度）；
对某块砖进行漏水操作，只要这块砖有盛水且上下左右相邻的 4 块砖高度和盛水量之和小于这块砖高度和盛水量之和，则需要进行一次漏水，漏水条件可以描述为 $w[i][j] > 0$ && $h[i][j-1] + w[i][j-1] < h[i][j] + w[i][j]$（该条件为砖左侧相邻的漏水条件，右、上、下同理可得）；
持续漏水操作，一直重复步骤 3 直至没有砖需要进行漏水操作；
求和砖的盛水量，$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n w[i][j]$ 即为水池的蓄水量；
算法流程图示如下：
编码实现
实现的类结构如下，特殊的方法已提取出，并将一一详细说明。
<?php
class Pool
{
public $gridArray = array();
public $maxHeight = 0;
public $row = 0;
public $col = 0;
public function __construct(array $data)
{
$this->row = count($data);
$this->col = count($data[0]);
foreach ($data as $row => $rowArray) {
foreach ($rowArray as $col => $height) {
$height = (int)$height;
$this->gridArray[$row][$col][‘height’] = $height;
$this->gridArray[$row][$col][‘water’] = 0;
// 获取最高砖的高度
if ($this->maxHeight < $height) {
$this->maxHeight = $height;
}
}
}
}
// 判断是否是水池边界
public function isBorder($row, $col)
{
if ($row == 0
|| $row == $this->row – 1
|| $col == 0
|| $col == $this->col – 1
) {
return true;
}
return false;
}
public function run()
{
$this->addWater();
while ($this->removeWater()) ;
return $this->collect();
}
}
注水操作：
public function addWater()
{
foreach ($this->gridArray as $row => $rowArray) {
foreach ($rowArray as $col => $grid) {
if (!$this->isBorder($row, $col)) {
$this->gridArray[$row][$col][‘water’] = $this->maxHeight – $this->gridArray[$row][$col][‘height’];
}
}
}
}
漏水操作：
public function removeWater()
{
foreach ($this->gridArray as $row => $rowArray) {
foreach ($rowArray as $col => $grid) {
if ($this->canRemove($row, $col)) {
return true;
}
}
}
return false;
}
漏水条件实现如下：
public function canRemove($row, $col)
{
$can = false;
if ($this->gridArray[$row][$col][‘water’] > 0) {
// 上
if ($this->gridArray[$row][$col][‘water’] + $this->gridArray[$row][$col][‘height’] >
$this->gridArray[$row – 1][$col][‘water’] + $this->gridArray[$row – 1][$col][‘height’]) {
$this->gridArray[$row][$col][‘water’] =
$this->gridArray[$row – 1][$col][‘water’] + $this->gridArray[$row – 1][$col][‘height’]
– $this->gridArray[$row][$col][‘height’];
if ($this->gridArray[$row][$col][‘water’] < 0) {
$this->gridArray[$row][$col][‘water’] = 0;
}
$can = true;
}
// 右
if ($this->gridArray[$row][$col][‘water’] + $this->gridArray[$row][$col][‘height’] >
$this->gridArray[$row][$col + 1][‘water’] + $this->gridArray[$row][$col + 1][‘height’]) {
$this->gridArray[$row][$col][‘water’] =
$this->gridArray[$row][$col + 1][‘water’] + $this->gridArray[$row][$col + 1][‘height’]
– $this->gridArray[$row][$col][‘height’];
if ($this->gridArray[$row][$col][‘water’] < 0) {
$this->gridArray[$row][$col][‘water’] = 0;
}
$can = true;
}
// 下
if ($this->gridArray[$row][$col][‘water’] + $this->gridArray[$row][$col][‘height’] >
$this->gridArray[$row + 1][$col][‘water’] + $this->gridArray[$row + 1][$col][‘height’]) {
$this->gridArray[$row][$col][‘water’] =
$this->gridArray[$row + 1][$col][‘water’] + $this->gridArray[$row + 1][$col][‘height’]
– $this->gridArray[$row][$col][‘height’];
if ($this->gridArray[$row][$col][‘water’] < 0) {
$this->gridArray[$row][$col][‘water’] = 0;
}
$can = true;
}
// 左
if ($this->gridArray[$row][$col][‘water’] + $this->gridArray[$row][$col][‘height’] >
$this->gridArray[$row][$col – 1][‘water’] + $this->gridArray[$row][$col – 1][‘height’]) {
$this->gridArray[$row][$col][‘water’] =
$this->gridArray[$row][$col – 1][‘water’] + $this->gridArray[$row][$col – 1][‘height’]
– $this->gridArray[$row][$col][‘height’];
if ($this->gridArray[$row][$col][‘water’] < 0) {
$this->gridArray[$row][$col][‘water’] = 0;
}
$can = true;
}
}
return $can;
}
持续漏水操作：
public function run()
{
while ($this->removeWater()) ;
}
求和砖的盛水量：
public function collect()
{
$sum = 0;
foreach ($this->gridArray as $row => $rowArray) {
foreach ($rowArray as $col => $grid) {
$sum += $grid[‘water’];
}
}
return $sum;
}
接收标准输入处理并输出结果：
$filter = function ($value) {
return explode(‘ ‘, $value);
};
$pool = new Pool(array_map($filter, explode(‘,’, $input)));
echo $pool->run(), PHP_EOL;
相似题目
Twitter 之前曾经出过类似蓄水池的笔试题，只不过本题是立体水池（二维数组），Twitter 蓄水池笔试题是平面水池（一维数组），解题复杂度也就降低了，当然 Twitter 蓄水池笔试题也可以采用本题的思想来实现，但是时间复杂度为 $O(n^2)$，采用 我的 Twitter 技术面试失败了 的实现时间复杂度为 $O(n)$。
实现思路如下：
首先，用两个指针（left 和 right）分别指向数组的第一个元素和最后一个元素，左指针从左向右遍历，右指针从右向左遍历；
初始化数组中一个元素（a[0]）为左边遍历得到的最大值（max_left），最后一个元素（a[a.length-1]）为从右边遍历得到的最大值（max_right）；
开始遍历，遍历结束条件为 左指针不小于右指针；
如果左边遍历的最大值小于右边遍历的最大值，说明只要有水沟（即小于左边最大值 max_left 的元素）就会有积水，因为右边的最大值可以保证左边水沟的积水不会流失掉；同样，如果左边遍历的最大值不小于右边遍历的最大值，只要右边有水沟（即小于右边最大值 max_right 的元素）就会有积水；
具体实现，请直接参考 CuGBabyBeaR 文章。
总结
本题的蓄水池问题，如果理解了问题本质并逆向思维，将寻找某块砖四周最低有效砖高度（寻找有效砖涉及到边界扩散）转化为判断某块砖是否需要漏水条件，那么问题就简化很多了，那后续编码也就很容易实现了，本文算法的时间复杂度为 $O(n^3)$。
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