在工程和迷信畛域，AI与迷信办法的联合正在解决更多经典迷信问题，并在固体、流体、传热、资料等越来越多的畛域失去了验证。为了更好撑持科研人员发展AI与基础学科的穿插交融钻研，百度飞桨不断完善框架能力，提供反对AI+科学计算的复数算子、高阶主动微分机制以及高性能编译等等。本期咱们聚焦构造畛域中的“高阶”物理机理，向大家阐明飞桨如何利用“高阶主动微分算子”解决构造畛域中的经典问题。在案例中，咱们将介绍如何应用飞桨框架对4阶以上偏微分方程进行无监督求解，同时联合DeepXDE或赛桨PaddleScience等科学计算工具组件取得更好的开发体验。
01 构造畛域背景与痛点在构造畛域中，飞机机翼桁架、汽车底盘、轮船甲板等机械结构件的受力变形、毁坏以及疲劳伤害等都是最典型的“力学”工程难题，解决好这些经典工程挑战无论对根底科研或工程利用都具备非常重要的意义。
传统的构造分析方法包含有限元法、无限差分法、边界元法等，通常须要大量的计算资源和人力投入，这会限度模型的规模和精度。近年来，基于物理信息神经网络（PINN）的AI办法逐步被利用于构造畛域的物理方程求解，这类办法广泛被认为兼具晋升计算速度与升高人力投入的劣势。
不同于经典NLP、CV等畛域问题，其中少数工作都是基于梯度降落算法进行优化，只须要一阶导数（即梯度）来更新模型参数。物理问题通常须要应用高阶微分方程（ODEs/PDEs/fPDEs/IDEs）及相应的初边值条件来形容物理机理，这要求交融物理机理的AI办法可解决高阶微分。目前深度学习框架中高阶微分算子往往通过手写、组合等形式实现，尤其是4阶以上微分算子的定义难度及实现工作量都十分大。
02 构造畛域问题求解原理构造畛域问题形容
构造畛域问题通常可用均衡微分方程、几何方程和物理方程来形容，其通用模式个别很难求解。理论利用中多应用简化方程，如宽泛存在的立体问题，从而升高求解难度。针对二维线弹性问题，咱们能够找到某些标量来代表应力函数，从而可取得同时满足均衡微分方程和相容方程的标量微分方程。在疏忽体积力的状况下，二维线弹性问题可由以下偏微分方程形容：
(1)
式中，是极坐标系(r,)下的Airy应力函数。在直角坐标系中，该偏微分方程可形容如下： (2)
式中，(x,y)=r(sin,cos)。以上方程也被称为双调和方程，它通过一个对立的表达式来形容立体线弹性问题。
实践上，基于方程(1)或(2)以及充沛的边界条件，即可实现问题求解。然而，因为方程蕴含四阶双调和算子∇4，传统数值办法须要应用更高阶的单元和算法能力进行求解，而其计算工夫和老本是极高的，大型简单构造问题中则广泛面临着“维度爆炸”、精度低、求解难等问题。比照传统求解办法，PINN办法具备自适应采样、非线性激活函数、并行计算等特点，能够将PDEs嵌入到神经网络中，可无效地解决高维空间和简单几何形态的问题。
一旦求解取得Airy应力函数，则可计算应力重量如下：
（3）
采纳胡克定律，则可计算应变重量如下：
(4)
式中，对于立体应变和立体应力问题，k别离取3-v和(3-v)(1+v)；可取为剪切模量G，v为泊松比。通过以上高阶偏微分方程，咱们能够对构造畛域的典型问题进行定义。不同于传统的数值差分的计算方法，基于给定的偏微分方程，利用PINN办法可在无监督的状况下间接对构造畛域问题进行求解，具体如下。
PINN办法求解构造问题
围绕构造畛域中高阶微分方程所形容的工程和迷信问题，飞桨框架能够反对PaddleScience和DeepXDE科学计算工具组件构建相应的PINN求解模型，并针对后面形容的二维线弹性构造问题，构建了求解应力函数的PINN模型，如图1所示。
图1 构造畛域PINN求解模型
该求解模型引入二维线弹性构造问题的管制方程和边值条件，这些物理信息束缚不仅升高了神经网络对数据的依赖，也升高了对网络复杂度的要求，使得采纳一个简略的全连贯网络即可实现二维线弹性构造问题的求解。
同时为了解决该畛域中高维偏微分方程的定义与求解，飞桨一方面在框架中减少高阶微分算子，另一方面构建根底算子体系，可反对不限阶数的主动微分。目前，飞桨曾经反对绝大多数算子的有限阶主动微分，以及局部算子的无限阶主动微分，次要算子简述如下：
有限阶主动微分包含标量与Tensor之间的加、减、乘、除、幂运算，elementwise系列运算、矩阵乘matmul、激活函数tanh，以及assign、concat、cumsum、expand_v2、reverse、squeeze、unsqueeze、scale、tile、transpose、sign、sum、mean、flip、cast、slice等；
无限阶主动微分sin、cos、sigmoid等算子反对三阶计算。基于飞桨最新提供的有限高阶主动微分（AD）算子，咱们也可在飞桨全量撑持的DeepXDE科学计算工具中，通过导入paddle.fluid中的core模块，利用deepxde.gradients.jacobian和deepxde.gradients.hessian可别离计算一阶和二阶微分，以及通过它们的任意组合来实现高阶微分。对此，咱们基于飞桨实现了PINN办法求解构造畛域中1维梁变形、2维立体受载两类典型问题求解，并失去与实践解统一的后果。
03 典型案例介绍上面依据后面给出的二维线弹性问题PINN求解模型，介绍基于飞桨联结科学计算工具DeepXDE构建的构造畛域典型案例，包含欧拉梁挠度计算、矩形平板集中受载基准案例、圆形平板散布受载基准案例（具体可见DeepXDE构造畛域科学计算案例）。
一维欧拉梁问题
欧拉梁（Euler beam）是被用来形容长条形物体蜿蜒静止的物理模型。在桥梁、飞机机翼、吊桥等泛滥状况下，都能够用欧拉梁模型来形容这些物体的蜿蜒、扭转和振动等静止。欧拉梁模型假如物体是修长且刚性的，能够在一个立体上自在蜿蜒，其几何通常可被简化为一维。DeepXDE的官网目录examples / pinn_forward下蕴含该类案例的一个具体实例Euler_beam.py，其对应的管制方程如下：(5)
式中，w为挠度，也即选取的应力函数。其边界条件可形容如下：左端点（x=0）固定，因此其扰度和转角为零，即：
（6）
右端点（x=1）承载，因此其弯矩和剪切力为零，即：
（7）
依据以上给出的挠度四阶方程和边界条件，基于DeepXDE能够简略地构建相应的PINN求解模型，次要步骤的代码如图 2所示。
图 2 一维欧拉梁问题的PINN求解模型代码
采纳以上代码能够求解欧拉梁的挠度，后果如图 3所示。能够看出，梁的左端因为固定而挠度为0，从左到右逐步增大。
图 3 欧拉梁问题的PINN求解后果
矩形平板散布受载基准案例
图 4 散布载荷作用下的矩形平板基准案例Vahab M, Haghighat E, Khaleghi M, et al. A physics-informed neural network approach to solution and identification of biharmonic equations of elasticity, 2022.
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