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引言

金融中一个重要度量是与资产相关的风险，而资产波动率是最常用的风险度量。然而，资产波动率的类型有多种。波动率是期权定价和资产分配中得一个关键颜色。波动率不能直接观测的性质在波动率研究和建模中有非常重要的含义

数据选取

笔者选取 1973 年 1 月到 2009 年 12 月，英特尔公司（INTC）股票的每月收盘价数据，同时也收集同期的 S &P 指数数据，前六个数据样本如下所列：

## date intc sp

## 1 19730131 0.010050 -0.017111

## 2 19730228 -0.139303 -0.037490

## 3 19730330 0.069364 -0.001433

## 4 19730430 0.086486 -0.040800

## 5 19730531 -0.104478 -0.018884

## 6 19730629 0.133333 -0.006575

模型分析

①模型的结构

用 rtrt 表示某项资产在 tt 时刻的对数收益率。波动率研究的基本思想是，序列 rtrt 是前后不相关的或低阶前后相关的，但是序列不是独立的。作为说明，考虑 Intel 公司股票从 1973 年 1 月到 2009 年 12 月的月对数收益率，共有 444 个观察值，下图给出了该对数收益率的时序图。

​

收益率序列看起来是平稳且随机的。接下来，我们给出其样本自相关函数（ACF）, 同时也作出对数收益率的绝对值序列|rt||rt|的样本自相关函数。

​

对数收益率序列的 ACF 显示除了在滞后为 7 和 14 时有较小相关性之外，没有显著的序列前后相关性，并且序列 rtrt 的 Ljung-Box 统计量表明 18.6760744, 相应的p值为 0.0966514. 而对数收益率的绝对值序列|rt||rt|显示具有序列相关性，并且序列|rt||rt|的 Ljung-Box 统计量表明 124.9064353, 相应的p值接近于 0。因此，Intel 公司股票月对数收益率序列是前后不相关的，但不是独立的。我们用 ARCH 模型去刻画收益率序列的这种不独立性。

为了把波动率模型放在一个适当的框架中，考虑给定 Ft−1Ft−1 时 rtrt 的条件均值和条件方差，即：

μt=E(rt|Ft−1),σ2t=Var(rt|Ft−1)=E[(rt−μt)2|Ft−1]μt=E(rt|Ft−1),σt2=Var(rt|Ft−1)=E[(rt−μt)2|Ft−1]

其中，Ft−1Ft−1 是在 t−1t−1 时刻已知的信息集。样本公司的股票收益率序列 rtrt 即使有前后相关性也很弱。我们假定 rtrt 服从简单的 ARMA(p,q)模型，Ljung-Box 统计量表明 Intel 股票的月对数收益率序列没有序列相关性。我们对对数收益率序列进行单样本检验, 确认序列 rtrt 的均值显著不等于0.

## $statistic

## t

## 2.37881

##

## $p.value

## [1] 0.01779151

更具体地说，检验 H0:μ= 0 和 Ha:μ≠0H0:μ= 0 和 Ha:μ≠0 的t比为 2.3788，p 值为 0.01779. 因此，对 Intel 公司股票的对数收益率，有 rt=μt+εtrt=μt+εt，其中 μt=μμt= μ 为常数。

②ARCH 效应的检验

对于 Intel 公司股票的月对数收益率序列，均值方程仅仅由一个常数构成。

记 εt=rt−μtεt=rt−μt 为均值方程的残差。平方序列 ε2tεt2 可以用来检验条件异方差性，即 ARCH 效应，我们采用 Mcleod 和 Li(1983)提出的将 Ljung-Box 统计量QQ(m)Q(m)应用于序列 ε2tεt2，该检验统计量的原假设是序列 ε2tεt2 前m个间隔的 ACF 值都为0.

ε2t=α0+α1ε2t−1+⋅⋅⋅+αmε2t−m+et,t=m+1,⋅⋅⋅,Tεt2=α0+α1εt−12+···+αmεt−m2+et,t=m+1,···,T

ε2tεt2 的 Ljung-Box 统计量 Q(12)Q(12)=92.938884，其p值接近于0, 因此表明有很强的 ARCH 效应。也可以用 Engle 的拉格朗日乘子法(m=12),archTest 检验结果显示,F 的值为 4.978, 相应的 p 值接近于 0，进一步表明 Intel 公司股票对数收益率有很强的 ARCH 效应。

③ARCH 模型的建立

ARCH 模型的基本思想是:1)资产收益率的扰动序列 εtεt 是前后不相关的，但不是独立的;2)εtεt 的不独立性可以用其滞后值的简单二次函数来表述。ARCH(m)模型假定

εt=σtϵt,σ2t=α0+α1ε2t−1+⋅⋅⋅+αmε2t−mεt=σtϵt,σt2=α0+α1εt−12+···+αmεt−m2

，其中 ϵtϵt 是均值为0、方差为1的独立同分布 (iid) 随机变量序列，且 α0>0α0>0, 对 i >0i>0 有 αi≥0αi≥0. 系数 αiαi 必须满足一些正则性条件以保证 εtεt 的无条件方差是有限的。我们假定 ϵtϵt 服从标准正态分布。

​

上图给出了均值调整对数收益率的平方序列的样本 ACF 和 PACF. 从 PACF 图中，我们可以看出在间隔为1、2、3和11上有显著的相关性。为了保持模型简单，我们对波动率建立一个 ARCH(3)模型。相应的，为 Intel 公司股票的月对数收益率建立一个如下模型：

rt=μ+εt,εt=σtϵt,σ2t=α0+α1ε2t−1+α2ε2t−2+α3ε2t−3rt=μ+εt,εt=σtϵt,σt2=α0+α1εt−12+α2εt−22+α3εt−32

假定 ϵtϵt 是独立同分布的标准正态序列。

我们得到的拟合模型为：rt=0.0126+εt,σ2t=0.0104+0.2329ε2t−1+0.0751ε2t−2+0.0520ε2t−3rt=0.0126+εt,σt2=0.0104+0.2329εt−12+0.0751εt−22+0.0520εt−32 并且，各个参数估计值的标准误差分别是 0.0055、0.0012、0.115、0.0473 和 0.0451, 统计报告见附录。

可见，α2α2 和 α3α3 的估计值在 5% 的水平下不是统计显著的。我们去掉两个不显著参数，简化模型为 ARCH(1) , 重新得出如下拟合模型 rt=0.0131+εt,σ2t=0.0110+0.3750ε2t−1rt=0.0131+εt,σt2=0.0110+0.3750εt−12 其中，各个参数估计值的标准误差分别是 0.0053、0.0021 和 0.1126, 并且所以估计都是高度显著的，统计报告见附录。

④ARCH 模型的思考

我们对于 Intel 公司股票波动率建立的上述模型是不是就能充分地描述给定数据的条件异方差性了呢？

以下，我们对残差进行标准化处理，得到序列 {εt^εt^}，{εt^εt^} 的样本 ACF 和样本 PACF 图如下所示：

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PACF 图表明在标准化残差的平方序列的高阶间隔上仍然有序列相关性。{εt^εt^}的 Ljung-Box 统计量为 Q(10)=16.58Q(10)=16.58,p=0.08p=0.08;Q(20)=38.81Q(20)=38.81,p=0.007p=0.007. 因此，如果只是关注低阶的模型，那么在5%水平下，以上所求的 ARCH(1)模型就能充分地描述给定数据的条件异方差。