乐趣区

浅谈停机问题

最大公约数

如果要计算 90 和 21 的最大公约数,根据欧几里德的定理,等同于求 21 和 6 的最大公约数,进一步等同于求 6 和 3 的最大公约数,经过几步转化,最终我们得到了结果:3。

这样一系列“有限”的步骤的集合,我们称之为算法。假设我们把求最大公约数算法的名字就叫做 GCD,当我们说 GCD 作用于 90 和 21 可以停机的时候,转成大白话就是:GCD(90, 21)不会陷入死循环,并且返回值是 3。事实上,GCD 对于“任何合法”的输入总是能停机的。

那么可不可以进一步问:有没有这样一个算法,对于任意一个给定的程序和输入,可以判断出这个程序是否会停机[[1]](https://en.wikipedia.org/wiki…

证明部分

假设我们有一个程序,就叫 will-stop?,它可以针对任意的程序 algorithm 和输入 input,返回是否可以停机,写成伪代码就是:

bool will-stop?(algorithm, input) {// return true or false}

接着我们来设计一个叫 evil 的程序,它接受一个程序 algorithm,在内部,它调用 will-stop? 并根据返回做一个相反的动作。写成伪代码也就是:

void evil(algorithm) {if (will-stop?(algorithm, algorithm)) {
    // 当返回 true,就进行一个不能停机的死循环
    while(true)
  } else {
    // 当返回 false,就立即执行一个停机动作
    return
  }
}

接下来我们尝试用来判断一下 evil(evil)这个函数调用是否会停机。也就是:will-stop?(evil, evil)输出的到底是什么?

为了方便表述,我们同时也用 evil1和 evil2指代上面的 evil,也就是说 evil、evil1、evil2 这 3 者是等价的。

下面我们用 will-stop?(evil1, evil2)代替之前的 will-stop?(evil, evil)。

假设 evil1(evil2)能停机,也就是 will-stop?(evil1, evil2)返回的是 true,我们把 evil2代入到 evil1的函数体中,也就说 evil1内部的 will-stop?(evil2, evil2)返回的是 false,也就是说它告诉我们 evil2(evil2)不会停机。

别忘了 evil1(evil2)和 evil2(evil2)代表的其实都是 evil(evil),所以 will-stop? 的结果自相矛盾了,那么反过来呢?

假设 evil1(evil2)不能停机,则 evil1内部的 will-stop?(evil2, evil2)返回 true,也就是说它告诉我们 evil2(evil2)停机了。

写在后面

证明的部分我参考了 Daniel Friedman[[2]](https://www.douban.com/douban…以及刘未鹏 [[3]](http://mindhacks.cn/2006/10/1… 的实现。同时,做了一些表述上的优化,并补充了一些背景知识,使它看起来不单是一个冷冰冰的数学问题,过程中我参考了《计算进化史》[[4]](https://www.douban.com/douban…

参考资料

[1] Halting problem
[2]《The Little Schemer – 4th Edition》
[3] 康托尔、哥德尔、图灵——永恒的金色对角线(rev#2)
[4]《计算进化史:改变数学的命运》

退出移动版