题目形容

这是 LeetCode 上的 583. 两个字符串的删除操作 ，难度为 中等。

Tag : 「最长公共子序列」、「序列 DP」

给定两个单词 word1 和 word2，找到使得 word1 和 word2 雷同所需的最小步数，每步能够删除任意一个字符串中的一个字符。

示例：

输出: "sea", "eat"输入: 2解释: 第一步将"sea"变为"ea"，第二步将"eat"变为"ea"

提醒：

  • 给定单词的长度不超过 $500$。
  • 给定单词中的字符只含有小写字母。

转换为 LCS 问题

首先，给定两字符 s1 和 s2，求通过多少次删除操作，可使得两个相等字符串。

该问题等价于求解两字符的「最长公共子序列」，若两者长度别离为 $n$ 和 $m$，而最长公共子序列长度为 $max$，则 $n - max + m - max$ 即为答案。

对「最长公共子序列（LCS）」不相熟的同学，能够看 (题解) 1143. 最长公共子序列。

$f[i][j]$ 代表思考 $s1$ 的前 $i$ 个字符、思考 $s2$ 的前 $j$ 个字符（但最长公共子序列中不肯定蕴含 $s1[i]$ 或者 $s2[j]$）时造成的「最长公共子序列（LCS）」长度。

当有了「状态定义」之后，基本上「转移方程」就是跃然纸上：

  • s1[i]==s2[j] : $f[i][j]=f[i-1][j-1]+1$。代表 必然应用 $s1[i]$ 与 $s2[j]$ 时 LCS 的长度。
  • s1[i]!=s2[j] : $f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i][j-1])$。代表 必然不应用 $s1[i]$（但可能应用$s2[j]$）时 和 必然不应用 $s2[j]$（但可能应用$s1[i]$）时 LCS 的长度。

能够发现，上述两种探讨曾经蕴含了「不应用 $s1[i]$ 和 $s2[j]$」、「仅应用 $s1[i]$」、「仅应用 $s2[j]$」和「应用 $s1[i]$ 和 $s2[j]$」四种状况。

尽管「不应用 $s1[i]$ 和 $s2[j]$」会被 $f[i - 1][j]$ 和 $f[i][j - 1]$ 反复蕴含，但对于求最值问题，反复比拟并不想影响答案正确性。

因而最终的 $f[i][j]$ 为上述两种探讨中的最大值。

一些编码细节：

通常会习惯性往字符串头部追加一个空格，以缩小边界判断（使下标从 1 开始，并很容易结构出可滚动的「有效值」）。但实现上，不必真的往字符串中最佳空格，只需在初始化动规值时假设存在首部空格，以及对最初的 LCS 长度进行减一操作即可。

代码：

class Solution {    public int minDistance(String s1, String s2) {        char[] cs1 = s1.toCharArray(), cs2 = s2.toCharArray();        int n = s1.length(), m = s2.length();        int[][] f = new int[n + 1][m + 1];        // 假设存在哨兵空格，初始化 f[0][x] 和 f[x][0]        for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = 1;        for (int j = 0; j <= m; j++) f[0][j] = 1;        for (int i = 1; i <= n; i++) {            for (int j = 1; j <= m; j++) {                f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);                if (cs1[i - 1] == cs2[j - 1]) f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);            }        }        int max = f[n][m] - 1; // 减去哨兵空格        return n - max + m - max;    }}
  • 工夫复杂度：$O(n * m)$
  • 空间复杂度：$O(n * m)$

序列 DP

上述解决方案是套用了「最长公共子序列（LCS）」进行求解，最初再依据 LCS 长度计算答案。

而更加符合题意的状态定义是依据「最长公共子序列（LCS）」的原始状态定义进行微调：定义 $f[i][j]$ 代表思考 $s1$ 的前 $i$ 个字符、思考 $s2$ 的前 $j$ 个字符（最终字符串不肯定蕴含 $s1[i]$ 或 $s2[j]$）时造成雷同字符串的最小删除次数。

同理，不失一般性的思考 $f[i][j]$ 该如何计算：

  • s1[i]==s2[j]：$f[i][j] = f[i - 1][j - 1]$，代表能够不必必然删掉 $s1[i]$ 和 $s2[j]$ 造成雷同字符串；
  • s1[i]!=s2[j]：$f[i][j] = \min(f[i - 1][j] + 1, f[i][j - 1] + 1)$，代表至多一个删除 $s1[i]$ 和 $s2[j]$ 中的其中一个。

$f[i][j]$ 为上述计划中的最小值，最终答案为 $f[n][m]$。

代码：

class Solution {    public int minDistance(String s1, String s2) {        char[] cs1 = s1.toCharArray(), cs2 = s2.toCharArray();        int n = s1.length(), m = s2.length();        int[][] f = new int[n + 1][m + 1];        for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = i;        for (int j = 0; j <= m; j++) f[0][j] = j;        for (int i = 1; i <= n; i++) {            for (int j = 1; j <= m; j++) {                f[i][j] = Math.min(f[i - 1][j] + 1, f[i][j - 1] + 1);                if (cs1[i - 1] == cs2[j - 1]) f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[i - 1][j - 1]);            }        }        return f[n][m];    }}
  • 工夫复杂度：$O(n * m)$
  • 空间复杂度：$O(n * m)$

最初

这是咱们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.583 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，局部是有锁题，咱们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章外面，除了解说解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果波及通解还会相应的代码模板。

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