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最近咱们被客户要求撰写对于贝叶斯分位数回归的钻研报告，包含一些图形和统计输入。

贝叶斯回归分位数在最近的文献中受到宽泛关注，本文实现了贝叶斯系数预计和回归分位数（RQ）中的变量抉择，带有lasso和自适应lasso惩办的贝叶斯

摘要

还包含总结后果、绘制门路图、后验直方图、自相干图和绘制分位数图的进一步建模性能。

简介

回归分位数（RQ）由（Koenker和Gilbert，1978）提出，将感兴趣的后果的条件分位数作为预测因子的函数来建模。自引入以来，分位数回归始终是理论界十分关注的话题，也在许多钻研畛域失去了大量的利用，如计量经济学、市场营销、医学、生态学和生存剖析（Neelon等，2015；Davino等，2013；Hao和Naiman，2007）。假如咱们有一个察看样本{(xi , yi);i = 1, 2, - -, n}，其中yi示意因变量，xi示意协变量的k维矢量。

贝叶斯\_分位数\_回归

Tobit RQ为形容非负因变量和协变量向量之间的关系提供了一种办法，能够被表述为因变量的数据未被齐全察看到的分位数回归模型。对于Tobit 分位数回归模型有相当多的文献，咱们能够参考Powell（1986）、Portnoy（2003）、Portnoy和Lin（2010）以及Kozumi和Kobayashi（2011）来理解详情。考虑一下这个模型。

其中，yi是察看到的因变量，y∗i是相应的潜在的未察看到的因变量，y 0是一个已知的点。能够证实，RQ系数向量能够通过以下最小化问题的解来继续预计\

Yu和Stander（2007）提出了一种Tobit RQ的贝叶斯办法，应用ALD计算误差，并应用Metropolis-Hastings（MH）办法从其后验散布中抽取。

实在数据实例

咱们思考用实在的数据例子。

免疫球蛋白G数据

这个数据集包含298名6个月到6岁儿童的免疫球蛋白G的血清浓度（克/升），Isaacs等人（1983）对其进行了具体探讨，Yu等人（2003）也应用了该数据集。为了阐明问题，该数据集的贝叶斯分位数回归模型（能够拟合如下）。

rq(血清浓度~年龄, tau=0.5)

摘要函数提供估计值和95%的置信区间

绘制数据，而后将五条拟合的RQ线叠加在散点图上。

R> for (i in 1:5) {+ taus=c(0.05, 0.25, 0.5, 0.75, 0.95)+ rq(tau=taus[i])+ abline(fit, col=i)+ }R> R> for (i in 1:5) {+ fit = rq(年龄+I(年龄^2),tau=taus[i])+ curve(,add=TRUE)+ }

图2：免疫球蛋白G数据的散点图和RQ拟合。

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matlab应用分位数随机森林（QRF）回归树检测异样值

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该图显示了298名6个月至6岁儿童的免疫球蛋白G的散点图。叠加在该图上的是{.05, .25, .50, .75, .95}的RQ线（左图）和 RQ线（左图）和RQ曲线（右图）。

图能够用来评估吉布斯采样向安稳散布的收敛状况。咱们在图1中只报告了=0.50时每个参数的门路图和后验直方图。咱们应用以下代码

plot(fit,"tracehist",D=c(1,2))

能够通过生成门路图、后验直方图、自相干图来对Gibbs采样的绘制后果进行图形总结。门路和直方图，门路和自相干，直方图和自相干，以及门路、直方图和自相干。这个函数还有一个选项。在图3中，免疫球蛋白G数据系数的门路图表明，采样从后验空间的一个偏僻区域跳到另一个区域的步骤绝对较少。此外，直方图显示边际密度实际上是所冀望的安稳的单变量常态。

图3：当=0.50时，免疫球蛋白G数据集的系数的门路和密度图。

前列腺癌数据

在本大节中，咱们阐明贝叶斯分位数回归在前列腺癌数据集（Stamey等人，1989）上的体现。该数据集考察了期待根治性前列腺切除术的病人的前列腺特异性抗原（lpsa）程度和八个协变量之间的关系。

这些协变量是：癌症对数体积（lcavol）、前列腺的对数分量（lweight）、年龄（age）、良性前列腺的对数体积（lbph）、精囊进犯（svi）、胶囊穿透的对数（lcp）、格里森评分（gleason）以及格里森评分4或5的百分比（pgg45）。

在本大节中，咱们假如因变量（lpsa）均值为零，而预测因子已被标准化，均值为零。为了阐明问题，咱们思考当=0.50时，贝叶斯lasso套索RQ（办法="BLqr"）。在这种状况下，咱们应用以下代码

R> x=as.matrix(x)R> rq(y~x,tau = 0.5, method="BLqr")

模型法可用于确定回归中的沉闷变量。 

相应的吉布斯采样的收敛性是通过生成样本的门路图和边际后验直方图评估的。因而，图能够用来提供一个对于吉布斯采样器收敛的图形查看，通过应用以下代码查看门路图和边际后验直方图。

plot(fit, type="trace")

上述代码的后果别离显示在图4和图5中。图4中的门路图显示，生成的样本迅速穿梭了后验空间，图5中的边际后验直方图显示，条件后验散布实际上是所需的安稳单变量常态。 

小麦数据

咱们思考一个小麦数据集。这个数据集来自于国家小麦种植倒退打算（2017）。这个小麦数据由11个变量的584个观测值组成。因变量是每2500平方米小麦产量减少的百分比。协变量是化肥尿素（U）、小麦种子收获日期（Ds）、小麦种子播种量（Qs）、激光平田技术（LT）、复合肥施肥（NPK）、播种机技术（SMT）、绿豆作物种植（SC）、作物除草剂（H）、作物高钾肥（K）、微量元素肥料（ME）。

上面的命令给出了=0.50时Tobit RQ的后验散布。

rq(y~x,tau=0.5, methods="Btqr")

还能够拟合贝叶斯lassoTobit 分位数回归和贝叶斯自适应lassoTobit 分位数回归。当=0.50时，函数能够用来取得Tobit 分位数回归的后验平均值和95%的置信区间。 

论断

在本文中，咱们曾经阐明了在分位数回归（RQ）中进行贝叶斯系数预计和变量抉择。此外，本文还实现了带有lasso和自适应lasso惩办的贝叶斯Tobit 分位数回归。还包含总结后果、绘制门路图、后验直方图、自相干图和绘制定量图的进一步建模。

参考文献

Alhamzawi, R., K. Yu, and D. F. Benoit (2012). Bayesian adaptive lasso quantile regression. Statistical Modelling 12 (3), 279–297.

Brownlee, K. A. (1965). Statistical theory and methodology in science and engineering, Volume 150. Wiley New York.

Davino, C., M. Furno, and D. Vistocco (2013). Quantile regression: theory and applications. John Wiley & Sons.

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