二分查找

二分查找算法自身不难，这一章的重点不在二分查找算法自身，而是如何写出正确的代码。

关键字：清晰、谨严

定义不同的循环不变量，或者不一样的函数语义都会导致代码不一样。

二分查找法的两种实现形式

定义两种不同的循环不变量来实现二分查找法：

第一种，也是比拟常见的一种：在 data[l,...,r] 范畴内查找 target。留神，data 的区间范畴是左闭右闭。

public function search($nums, $target){    // 在 data[l,...,r] 范畴内查找    $l = 0;    $r = count($nums) - 1;    while ($l <= $r) {        $mid = floor(($l + $r) / 2);        if ($target == $nums[$mid]) {            return $mid;        }        if ($target < $nums[$mid]) {            $r = $mid - 1;        } else {            $l = $mid + 1;        }    }    return -1;}

第二种，在 data[l,...,r) 的范畴中寻找 target。留神，data 的区间范畴是左闭右开。

public function search($nums, $target){    // 定义循环不变量    // arr[l, r) 的范畴中寻找 target    $l = 0;    $r = count($nums);    while ($l < $r) {       // 留神这里是 l < r 而 l <= r        $mid = floor(($l + $r) / 2);        if ($target == $nums[$mid]) {            return $mid;        }        if ($target < $nums[$mid]) {            $r = $mid;      // 持续在 data[l, mid) 范畴里寻找        } else {            $l = $mid + 1;  // 持续在 data[mid + 1, r) 范畴里寻找        }    }    return -1;}

比照代码能够看出，循环不变量不一样：

  • 参数的初始值不一样；
  • 循环的终止条件不一样；
  • 循环体也不一样，换句话说，保护参数的办法不一样。

从这个例子也能够看出，实现算法的伎俩有很多，定义不一样的循环不变量，代码也会不一样。

那么该如何依据循环不变量写出正确的代码呢？

  • 谨严的定义；
  • 清晰的语义。

须要晓得每个参数的具体含意，循环不变量是什么，在循环中该如何保护这些参数，函数的语义，即：

  • 循环不变量；
  • 参数定义；
  • 参数的初始值；
  • 终止条件；
  • 如何保护参数。

二分查找法的变式

二分查找法的变式次要分为两类六种：

  • 查找比 target 大的最小值

    • upper：查找比 target 大的最小值，例如在数组 arr [1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7] 中查找比 1 大的最小值，这个最小值是 3，故返回的值是 3 对应的索引 2;

    • upper_ceil

      • 如果数组中存在 target，返回最大索引；例如在数组 arr [1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7] 中查找 3，数组中存在 3，返回的是最大的索引 3 而不是 2;
      • 如果数组不存在 target，返回 upper；例如在数组 arr [1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7] 中查找 2，数组中没有 2，故返回的是比 2 大的最小的元素对应的索引，比 2 大的最小的元素为 3，对应的索引是 2，故返回的是 2.

    • lower_ceil

      • 求解大于等于 target 的最小索引；例如在数组 arr [1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7] 中查找 3，数组中存在 3，返回的是最小的索引 2 而不是 3;

  • 查找比 target 小的最大值

    • lower：比 target 小的最大值；例如在数组 arr [1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7] 中查找比 5 小的最大值，这个最大值是 3，故返回的值是 3 对应的索引 3;

    • lower_floor

      • 如果数组中存在 target，则返回最小索引；例如在数组 arr [1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7] 中查找 3，数组中存在 3，返回的是最小的索引 2 而不是 3;
      • 如果数组中不存在 target，返回 lower；例如在数组 arr [1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7] 中查找 4，数组中不存在 4，返回的是比 4 小的最大值对应的索引，这个最大值是 3，对应的索引是 3，故返回的是 3;

    • upper_floor

      • 如果数组中存在 target，返回最大索引；
      • 如果数组中不存在 target，返回 lower。
      • 用一句话总结，求解的就是小于等于 target 的最大索引；例如在数组 arr [1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7] 中查找 3，数组中存在 3，返回的是最大的索引 3 而不是 2;

Upper 代码如下：

<?phpclass BS{    // 二分查找法的变式    public function upper($arr, $target)    {        $l = 0;        $r = count($arr);        $i = 1;        echo '调用 upper 办法：'.PHP_EOL;        while ($l < $r) {            $mid = floor(($l + $r) / 2);            echo sprintf("第 %d 轮循环，初始搜寻范畴[%d, %d], mid = %d, arr[mid] = %d, ", $i, $l, $r, $mid, $arr[$mid]);            if ($target >= $arr[$mid]) {                $l = $mid + 1;            } else {                $r = $mid;            }            echo sprintf("下轮循环的搜寻范畴[%d, %d] ", $l, $r).PHP_EOL;            $i ++;        }        return $l;    }    public function upperCeil($arr, $target)    {        // 如果数组中存在元素，返回最大索引，如果数组中不存在元素，返回 upper。        // 先找到比 target 的最小值对应的索引 u，如果 u-1 对应的元素等于 target，则返回 u - 1，否则返回 u。        echo '调用 upperCeil 办法：'.PHP_EOL;        $u = $this->upper($arr, $target);        if ($u - 1 >= 0 && $arr[$u - 1] == $target) {            return $u - 1;        }        return $u;    }    public function lowerCeil($arr, $target)    {        // 查找大于等于 target 的最小索引        $l = 0;        $r = count($arr);        $i = 0;        echo '调用 lowerCeil 办法：'.PHP_EOL;        while ($l < $r) {            $mid = floor(($l + $r) / 2);            echo sprintf("第 %d 轮循环，初始搜寻范畴[%d, %d], mid = %d, arr[mid] = %d, ", $i, $l, $r, $mid, $arr[$mid]);            if ($target > $arr[$mid]) {                $l = $mid + 1;            } else {                $r = $mid;            }            echo sprintf("下轮循环的搜寻范畴[%d, %d] ", $l, $r).PHP_EOL;            $i ++;        }        return $l;    }    public function myUpper($arr, $target)    {        // 不带调试代码的 upper 办法        $l = 0;        $r = count($arr);        while ($l < $r) {            $mid = floor(($l + $r) / 2);            if ($target >= $arr[$mid]) {                $l = $mid + 1;            } else {                $r = $mid;            }        }        return $l;    }    public function myLowerCeil($arr, $target){        // 不带调试代码的 lowerCeil 办法        $l = 0;        $r = count($arr);        while ($l < $r) {            $mid = floor(($l + $r) / 2);            if ($target > $arr[$mid]) {                // 与 upper 办法相比，不同之处在于这里没有等于号                $l = $mid + 1;            } else {                $r = $mid;            }        }        return $l;    }    public static function Main()    {        $arr = [1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7];        $bs = new BS();        $arrStr = '['.implode(', ', $arr).']';        $target = 3;        $index = $bs->upper($arr, $target);        echo sprintf("在数组 %s 中比 %d 大的最小值对应的索引是 %d，其值为：%d。", $arrStr,$target, $index, $arr[$index]).PHP_EOL;        echo PHP_EOL;        $index = $bs->upperCeil($arr, $target);        echo sprintf("在数组 %s 中比 %d 大的最小值对应的大索引是 %d，其值为：%d。", $arrStr,$target, $index, $arr[$index]).PHP_EOL;        echo PHP_EOL;        $index = $bs->lowerCeil($arr, $target);        echo sprintf("在数组 %s 中比 %d 大的最小值对应的小索引是 %d，其值为：%d。", $arrStr,$target, $index, $arr[$index]).PHP_EOL;    }}BS::Main();

输入如下：

调用 upper 办法：第 1 轮循环，初始搜寻范畴[0, 8], mid = 4, arr[mid] = 5, 下轮循环的搜寻范畴[0, 4] 第 2 轮循环，初始搜寻范畴[0, 4], mid = 2, arr[mid] = 3, 下轮循环的搜寻范畴[3, 4] 第 3 轮循环，初始搜寻范畴[3, 4], mid = 3, arr[mid] = 3, 下轮循环的搜寻范畴[4, 4] 在数组 [1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7] 中比 3 大的最小值对应的索引是 4，其值为：5。调用 upperCeil 办法：调用 upper 办法：第 1 轮循环，初始搜寻范畴[0, 8], mid = 4, arr[mid] = 5, 下轮循环的搜寻范畴[0, 4] 第 2 轮循环，初始搜寻范畴[0, 4], mid = 2, arr[mid] = 3, 下轮循环的搜寻范畴[3, 4] 第 3 轮循环，初始搜寻范畴[3, 4], mid = 3, arr[mid] = 3, 下轮循环的搜寻范畴[4, 4] 在数组 [1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7] 中比 3 大的最小值对应的大索引是 3，其值为：3。调用 lowerCeil 办法：第 0 轮循环，初始搜寻范畴[0, 8], mid = 4, arr[mid] = 5, 下轮循环的搜寻范畴[0, 4] 第 1 轮循环，初始搜寻范畴[0, 4], mid = 2, arr[mid] = 3, 下轮循环的搜寻范畴[0, 2] 第 2 轮循环，初始搜寻范畴[0, 2], mid = 1, arr[mid] = 1, 下轮循环的搜寻范畴[2, 2] 在数组 [1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7] 中比 3 大的最小值对应的小索引是 2，其值为：3。

Lower 代码如下：

<?phpclass BS{    public function lower($arr, $target)    {        // 比 target 小的最大值        // 在 arr[l, r] 中找        $l = -1;        $r = count($arr) - 1;        $i = 0;        echo '调用 lower 办法：'.PHP_EOL;        while ($l < $r) {            $mid = ceil(($l + $r) / 2);            echo sprintf("第 %d 轮循环，初始搜寻范畴[%d, %d], mid = %d, arr[mid] = %d, ", $i,             $l, $r, $mid, $arr[$mid]);            if ($target <= $arr[$mid]) {                // 比 target 大的元素间接舍弃                $r = $mid - 1;            } else {                $l = $mid;            }            echo sprintf("下轮循环的搜寻范畴[%d, %d] ", $l, $r).PHP_EOL;            $i ++;        }        return $l;    }    public function lowerFloor($arr, $target)    {        echo '调用 lowerFloor 办法：'.PHP_EOL;        /*            如果数组中存在target，则返回最小索引            如果数组中不存在 target，返回 lower        */        $lower = $this->lower($arr, $target);        if ($lower + 1 < count($arr) && $arr[$lower + 1] == $target) {            return $lower + 1;        }        return $lower;    }    public function upperFloor($arr, $target)    {        /*            如果数组中存在 target，返回最大索引；            如果数组中不存在 target，返回 lower。        */         $l = -1;        $r = count($arr) - 1;        $i = 0;        echo '调用 upperFloor 办法：'.PHP_EOL;        while ($l < $r) {            $mid = ceil(($l + $r) / 2);            echo sprintf("第 %d 轮循环，初始搜寻范畴[%d, %d], mid = %d, arr[mid] = %d, ", $i,             $l, $r, $mid, $arr[$mid]);            if ($target < $arr[$mid]) {                // 比 target 大的元素间接舍弃                $r = $mid - 1;            } else {                $l = $mid;            }            echo sprintf("下轮循环的搜寻范畴[%d, %d] ", $l, $r).PHP_EOL;            $i ++;        }        return $l;    }    public function myLower($arr, $target)    {        // 不带调试代码的 lower 办法        // 比 target 小的最大值        // 在 arr[l, r] 中找        $l = -1;        $r = count($arr) - 1;        while ($l < $r) {            $mid = ceil(($l + $r) / 2);            if ($target <= $arr[$mid]) {                // 比 target 大的元素间接舍弃                $r = $mid - 1;            } else {                $l = $mid;            }        }        return $l;    }    public function MyLowerFloor($arr, $target)    {        // 不带调试代码的 MyLowerFloor 办法        /*            如果数组中存在target，则返回最小索引            如果数组中不存在 target，返回 lower        */        $lower = $this->lower($arr, $target);        if ($lower + 1 < count($arr) && $arr[$lower + 1] == $target) {            return $lower + 1;        }        return $lower;    }        public function MyUpperFloor($arr, $target)    {        // 不带调试代码的 MyUpperFloor 办法        /*            如果数组中存在 target，返回最大索引；            如果数组中不存在 target，返回 lower。        */         $l = -1;        $r = count($arr) - 1;        while ($l < $r) {            $mid = ceil(($l + $r) / 2);            if ($target < $arr[$mid]) {                // 比 target 大的元素间接舍弃                $r = $mid - 1;            } else {                $l = $mid;            }        }        return $l;    }    public static function Main()    {        $arr = [1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7];        $bs = new BS();        $arrStr = '['.implode(', ', $arr).']';        $target = 3;        $index = $bs->lower($arr, $target);        echo sprintf("在数组 %s 中比 %d 大的最小值对应的索引是 %d，其值为：%d。", $arrStr, $target, $index, $arr[$index]).PHP_EOL;        echo PHP_EOL;        $index = $bs->lowerFloor($arr, $target);        echo sprintf("在数组 %s 中比 %d 大的最小值对应的最小索引是 %d，其值为：%d。", $arrStr, $target, $index, $arr[$index]).PHP_EOL;        echo PHP_EOL;        $index = $bs->upperFloor($arr, $target);        echo sprintf("在数组 %s 中比 %d 大的最小值对应的最大索引是 %d，其值为：%d。", $arrStr, $target, $index, $arr[$index]).PHP_EOL;        echo PHP_EOL;    }}BS::Main();

输入如下：

调用 lower 办法：第 0 轮循环，初始搜寻范畴[-1, 7], mid = 3, arr[mid] = 3, 下轮循环的搜寻范畴[-1, 2] 第 1 轮循环，初始搜寻范畴[-1, 2], mid = 1, arr[mid] = 1, 下轮循环的搜寻范畴[1, 2] 第 2 轮循环，初始搜寻范畴[1, 2], mid = 2, arr[mid] = 3, 下轮循环的搜寻范畴[1, 1] 在数组 [1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7] 中比 3 大的最小值对应的索引是 1，其值为：1。调用 lowerFloor 办法：调用 lower 办法：第 0 轮循环，初始搜寻范畴[-1, 7], mid = 3, arr[mid] = 3, 下轮循环的搜寻范畴[-1, 2] 第 1 轮循环，初始搜寻范畴[-1, 2], mid = 1, arr[mid] = 1, 下轮循环的搜寻范畴[1, 2] 第 2 轮循环，初始搜寻范畴[1, 2], mid = 2, arr[mid] = 3, 下轮循环的搜寻范畴[1, 1] 在数组 [1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7] 中比 3 大的最小值对应的最小索引是 2，其值为：3。调用 upperFloor 办法：第 0 轮循环，初始搜寻范畴[-1, 7], mid = 3, arr[mid] = 3, 下轮循环的搜寻范畴[3, 7] 第 1 轮循环，初始搜寻范畴[3, 7], mid = 5, arr[mid] = 5, 下轮循环的搜寻范畴[3, 4] 第 2 轮循环，初始搜寻范畴[3, 4], mid = 4, arr[mid] = 5, 下轮循环的搜寻范畴[3, 3] 在数组 [1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7] 中比 3 大的最小值对应的最大索引是 3，其值为：3。

留神

为了保障解在搜寻范畴中：

  • 在 upper 中，l 的初始值为 0，r 的初始值为 count(arr)，而不是 count(arr) - 1；
  • 在 lower 中，l 的初始值为 -1，而不是 0，r 的初始值为 count(arr) - 1；

在 lower 中，为了保障可能收敛到 l == r，应该向上取整，而不是向下取整，即 mid = ceil((l + r) / 2)。

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