简介
在数组中找一个标定点 p，把数组中小于 arr[p] 元素放到 arr[p] 的右边，把大于等于 arr[p] 的元素放到 arr[p] 的左边，即：
- 在区间 [0, p - 1] 内的元素小于 arr[p]；
- 在区间 [p + 1, count(arr) - 1] 内的元素大于 arr[p]。
再别离对 arr[0,...,p - 1]、arr[p + 1,...,count(arr) - 1] 进行递归排序。
如果用以上思路去排序一个齐全无序的数组，工夫复杂度会是 O(nlgn)，然而有两种特例会呈现性能进化的景象，工夫复杂度会变成 O(n^2)：
- 数组齐全有序，例如 [1, 2, 3, 4]；
- 数组中的所有元素都雷同，例如 [0, 0, 0]。
为了避免出现因为数组齐全有序而导致算法性能进化的景象，应用了随机化的办法，即在区间 [l, r] 内随机选一个元素，与 arr[l] 替换，把替换后的 arr[l] 作为标定点，而不是间接把 arr[l] 作为标定点。
而数组中所有元素都雷同导致性能进化的问题的解决办法则是应用双路快排：
三路快排则是对双路快排的进一步优化。
单路疾速排序
<?phpclass OneWayQuickSort{ public function sort(&$arr) { $this->oneWaySort($arr, 0, count($arr) - 1); } protected function oneWaySort(&$arr, $l, $r) { if ($l >= $r) { return; } $p = $this->partition($arr, $l, $r); $this->oneWaySort($arr, $l, $p - 1); $this->oneWaySort($arr, $p + 1, $r); } protected function partition(&$arr, $l, $r) { // 原地宰割 // arr[l+1,...,j] < v; arr[j+1,...,i-1] >= v $j = $l; for ($i = $l + 1; $i <= $r; $i++) { if ($arr[$i] < $arr[$l]) { $j ++; $this->swap($arr, $i, $j); } } $this->swap($arr, $l, $j); return $j; } protected function swap(&$arr, $i, $j) { $temp = $arr[$i]; $arr[$i] = $arr[$j]; $arr[$j] = $temp; } public static function Main() { $arr = [1,3,5,7,2,4,6,8]; (new OneWayQuickSort())->sort($arr); $result = '['.implode(', ', $arr).']'; echo $result; }}OneWayQuickSort::Main();// [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]双路疾速排序
<?phpclass TwoWaysQuickSort{ public function sort(&$arr) { $this->twoWaysSort($arr, 0, count($arr) - 1); } protected function twoWaysSort(&$arr, $l, $r) { if ($l >= $r) { return; } $p = $this->partition($arr, $l, $r); $this->twoWaysSort($arr, $l, $p - 1); $this->twoWaysSort($arr, $p + 1, $r); } protected function partition(&$arr, $l, $r) { // 随机化，防止因有序数组呈现性能进化的问题 // 在区间[l, r]中取一个数k，替换arr[l]和arr[k] $k = mt_rand($l, $r); $this->swap($arr, $l, $k); // arr[l+1,...,i - 1] <= v; arr[j + 1,...,r] >= v $i = $l + 1; $j = $r; while (true) { while ($i <= $j && $arr[$i] < $arr[$l]) { $i ++; } while ($j >= $i && $arr[$j] > $arr[$l]) { $j --; } if ($i >= $j) { // 循环终止条件，但 i 和 j 相等时，循环终止。 break; } $this->swap($arr, $i, $j); $i ++; $j --; } $this->swap($arr, $l, $j); return $j; } protected function swap(&$arr, $i, $j) { $temp = $arr[$i]; $arr[$i] = $arr[$j]; $arr[$j] = $temp; } public static function Main() { $arr = [1,3,5,7,2,4,6,8]; (new TwoWaysQuickSort())->sort($arr); $result = '['.implode(', ', $arr).']'; echo $result; }}TwoWaysQuickSort::Main();// [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]循环不变量是什么？
- arr[l + 1,...,i - 1] <= arr[l];
- arr[j + 1,...,r] >= arr[l];
每个变量的定义是什么？
- i：指针，从前往后找；
- j：指针，从后往前找。
每个变量的初值该怎么取？
- i = l - 1;
- j = r + 1;
循环的终止条件是什么？
- 当 i >= j 时终止循环。
在循环的过程中 i、j 该如何保护？
- i：从前往后找，遇到第一个小于等于标定点的元素就进行；
- j：从后往前找，遇到第一个大于大于标定点的元素就进行；
- 替换 arr[i]，arr[j] 的值；
- i ++，j--。
在循环完结之后，须要替换 arr[l] 和 arr[j] 的值。
留神：循环完结之后为什么不是替换 arr[l] 和 arr[i] 的值，而是替换 arr[l] 和 arr[j] 的值呢？
在最初一轮循环中，即在循环完结之前，从后往前，j 指向的是数组中第一个小于标定点 arr[l] 的值，而且 i >= j，即 j 后面的元素都是小于等于标定点的，j 前面的值都是大于等于标定点的，故 arr[l] 是和 arr[j] 替换而非 arr[i] 替换。
三路疾速排序
<?phpclass ThreeWaysQuickSort{ public function sort(&$arr) { $this->threeWaysSort($arr, 0, count($arr) - 1); } protected function threeWaysSort(&$arr, $l, $r) { if ($l >= $r) { return; } $result = $this->partition($arr, $l, $r); $lt = $result['lt']; $gt = $result['gt']; $this->threeWaysSort($arr, $l, $lt); $this->threeWaysSort($arr, $gt, $r); } protected function partition(&$arr, $l, $r) { $k = mt_rand($l, $r); $this->swap($arr, $l, $k); // 定义循环不变量 arr[l,...,lt] < v; arr[lt + 1,...,gt - 1] = v; arr[gt,...,r] > v // 定义 lt、gt、i // lt 最初一个小于 v 的元素所在的地位； // gt 第一个大于 v 的元素所在的地位。 $lt = $l; $gt = $r + 1; $i = $l + 1; $v = $arr[$l]; while ($i < $gt) { if ($arr[$i] < $v) { $lt ++; $this->swap($arr, $i, $lt); $i++; } elseif ($arr[$i] > $v) { $gt --; $this->swap($arr, $i, $gt); } else { $i ++; } } // 循环完结后，因为须要将 arr[l] 与 arr[lt] 进行替换， $this->swap($arr, $l, $lt); // 故最终 arr[l,...,lt - 1] < v; arr[lt,...,gt - 1] = v; arr[gt,...,r] > v return [ 'lt' => $lt - 1, 'gt' => $gt ]; } protected function swap(&$arr, $i, $j) { $temp = $arr[$i]; $arr[$i] = $arr[$j]; $arr[$j] = $temp; } public static function Main() { $arr = [1,3,5,7,2,4,6,8]; (new ThreeWaysQuickSort())->sort($arr); $result = '['.implode(', ', $arr).']'; echo $result; }}ThreeWaysQuickSort::Main();// [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]说实话三路疾速排序的 partition 函数不是很好了解，一个循环波及到了 lt、gt、i 三个变量，要做到正确地保护这些变量并不容易。
当前再写循环之前应该先问本人以下问题，答复分明之后再入手写代码：
- 循环不变量是什么？
- 每个变量的定义是什么？
- 每个变量的初值该怎么取？
- 循环的终止条件是什么？
- 在循环的过程中 lt、gt、i 该如何保护？
三路快排的 partition 函数中的循环：
循环不变量？
- arr[l,...,lt] < arr[l];
- arr[lt+1,...,gt-1] = arr[l];
- arr[gt,...,r] > arr[l]。
每个变量的含意是什么？
- lt：arr[lt] 是最初一个小于 arr[l] 的元素；
- gt：arr[gt] 是第一个大于 arr[l] 的元素；
- i：用于遍历 arr[lt+1,...,r] 的工具人。
每个变量的初值该怎么取？
- lt = l;
- gt = r + 1;
- i = l + 1。
循环的终止条件？
- i >= gt 时循环终止。
在循环的过程中 lt、gt、i 该如何保护？
- 当 arr[i] 小于 arr[l] 时，lt 先自增，再替换 arr[i] 和 arr[lt]，最初 i ++；
- 当 arr[i] 大于 arr[l] 时，gt 先自减，再替换 arr[i] 和 arr[gt]；（留神这里并不需要 i ++，因为并不知道替换之前 arr[gt] 的值和 arr[l] 的值哪个大，须要等下轮循环进行判断）
- 当 arr[i] 等于 arr[l] 时，自增 i 即可。
留神：循环完结之后，还须要替换 arr[l] 和 arr[lt] 的值，这样数组就有了这样的性质：
- arr[l,...,lt-1] < arr[l];
- arr[lt,...,gt-1] = arr[l];
- arr[gt,...,r] > arr[l]。
再对 arr[l,...,lt - 1]，arr[gt,...,r] 别离进行递归。
这里须要留神的是，因为在循环完结之后，替换了 arr[l] 和 arr [lt]，所以 arr[lt] 并不是最初一个小于 arr[l] 的元素了，arr[lt - 1] 才是最初一个小于 arr[l] 的元素，故是对 arr[l,...,lt - 1] 进行递归。
工夫复杂度
为了防止因为数组齐全有序导致算法性能进化，引入了随机化，所以即便是用同一个数组排序，尽管失去的后果雷同，但解决的过程可能不同，换句话说，双路、三路疾速排序算法都是随机算法。
随机算法的工夫复杂度剖析用的是冀望。
对于双路还是三路疾速排序算法，工夫复杂度都是 O(nlgn)。
疾速排序的利用
Select K 问题。