题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/54484/B

题意很简略，然而数据范畴偏大。

错排公式

首先来推导一下错排公式：

$$D(n) = n!\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}$$

设一个函数：

$$S_i示意一个排列中p_i = i的计划数$$

那么咱们能够晓得：

$$D(n) = n! - |\cup_{i=1}^{n}S_i|$$

这个示意所有计划数减去至多有一个地位放对的计划数。

当初来考虑一下如何解决前面这个并集，并集往往是不好求的，而交加会好求很多，所以在求并集的时候咱们往往采取容斥原理将一个并集转换成诸多交加的加减运算。

咱们用一个图能够来示意当n = 3的状况：

其中有：

$$|S_1 \cup S_2 \cup S_3| = |S_1| + |S_2| + |S_3| - |S_1 \cap S_2| - |S_1 \cap S_3| - |S_2 \cap S_3| + |S_1 \cap S2 \cap S_3|$$

扩大一下就能够失去上面的柿子：

$$|\cup_{i=1}^{n}S_i| = \sum_{k=1}^{n}(-1)^k\sum_{1\leq i_1 \leq i_2 \leq ... \leq i_k \leq n}|S_{i1}\cap S_{i2} ... \cap S_{ik}|$$

而后有：

$$\sum_{1\leq i_1 \leq i_2 \leq ... \leq i_k \leq n}|S_{i1}\cap S_{i2} ... \cap S_{ik}| = C_{n}^{k}(n-k)!$$

这个示意啥呢，右边这个柿子的含意其实是i1 ~ ik都放对了，其余地位上无所谓的计划数，就等同于在n个地位中抉择k个放对，剩下的轻易放的计划数。

所以可得上面的柿子：

$$|\cup_{i=1}^{n}S_i| = \sum_{k=1}^{n}(-1)^kC_{n}^{k}(n-k)!$$

而后化简得：

$$|\cup_{i=1}^{n}S_i| = \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k n!}{k!}$$

而后代回到一开始的答案表达式中：

$$D(n) = n! - \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k n!}{k!}$$

把n!提出来，再化简一下失去：

$$D(n) = n! \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}$$

回到本题

然而有这个柿子仍然不好写这题，这题如果是1e7就能够间接O(n)写了，然而这题是1e9的数据范畴，能够考虑一下分段打表（个别要求函数能够递推），然而这个表达式如同不是很好打，咱们来剖析一下。

首先网上有一个比拟有名递推式（证实略）：

$$D(n) = (n-1)[D(n - 1) + D(n - 2)]$$

这个递推须要用到前两项，也就是说咱们须要打两个表，而后才能够做，有点麻烦，然而其实是能够只用一项的。

我看网路上都没有用上面这种形式递推的，我在这里写一下。

咱们思考D(n) -> D(n + 1)这样的转移：

$$D(n) = n! \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}$$

$$D(n + 1) = (n + 1)! \sum_{k=0}^{n + 1}\frac{(-1)^k}{k!}
\newline = (n + 1)![\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!} + \frac{(-1)^{n + 1}}{(n + 1)!}]
\newline = (n + 1)!\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!} + (-1)^{n + 1}
\newline = (n + 1) \times n!\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!} + (-1)^{n + 1}
\newline = (n+1) \times D(n) + (-1)^{n+1}$$

而后令段大小T = 1e7打表打出D(0), D(T), D(2T) ... D(100T)就好了。

最终的复杂度是O(n)然而常数极小，所以能够过。

Code:

#include <bits/stdc++.h>#define int long longusing namespace std;const int p = 1e9 + 7, T = 1e7;int a[110] ={1,824182295,933713113,474482547,930651136,251064654,637937211,229643390,307311871,448853213,322273426,398890147,194914852,884947442,154199209,881788023,389699639,733217502,601739182,372305477,213823357,713959988,498202615,196342945,324300550,154001751,974475946,540773759,467881322,257531902,598680559,367927849,971346692,94577421,617165552,128327758,503709458,253566817,820144401,13965056,82358069,805941568,533047638,69430220,686678173,297170813,34546238,323435423,499126069,487532712,468899710,790590914,581347156,955359050,700529992,518280890,98592091,64544225,988209678,422603955,40661679,174468756,573631136,757555557,710709955,775098981,499158883,969149294,880429710,42564126,333697951,522067888,579797877,528967798,717694718,309384913,31308092,316850320,220854491,878646494,963974981,377654637,705101053,542246848,466289530,750036412,819636314,688721174,464087273,517164631,256789690,482685016,276682441,473333947,340221393,762927538,624766601,984537252,977632075,34192646,402182971,977005016};int mo(int x){return (x % p + p) % p;}void solve(){    int n;cin >> n;    int ans = a[n / T];    for(int i = n / T * T + 1;i <= n; ++ i)ans = mo(ans * i % p + ((i & 1) ? -1 : 1));    cout << ans << '\n';}void table(){    int x = 1;//d(0) = 1，这个有点非凡    cout << x << ",";    int cnt = 1;    for(int i = 1;i <= 1e9; ++ i)    {        x = x * i % p;        if(i & 1)x = (x - 1 + p) % p;        else x = (x + 1) % p;                if(i % T == 0)        {            cout << x << ",";            cnt ++;        }                if(cnt % 10 == 0)        {            cout << '\n';            cnt = 1;        }            }}signed main(){    table();    solve();    //return 0;}