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均匀互信息

均匀互信息定义

$$I(X ; Y)=E[I(x, y)]=H(X)-H(X \mid Y)$$

  1. Y 末知, $\mathrm{X}$ 的不确定度为 $\mathrm{H}(\mathrm{X})$
  2. Y 已知, $\mathrm{X}$ 的不确定度变为 $\mathbf{H}(\mathbf{X} \mid \mathbf{Y})$

互信息 = 先验不确定性 - 后验不确定性 = 不确定性缩小的量

通信零碎中若发端的符号为 X 收端的符号为 Y。如果是 一一对应信道, 接管到 Y 后对 X 的不确定性将齐全打消： H(X|Y) = 0，个别状况 H(X|Y) < H(X), 即理解 Y 后对 X 的不确定度将缩小。

通过信道传输打消了一些不确定性, 取得了肯定的信息， 故$0 \leq I(X ; Y) \leq H(X)$

$I(X ; Y)=\sum_{i} \sum_{j} p(x_{i} y_{j}) \log \frac{p(x_{i} \mid y_{j})}{p(x_{i})}$

$=\sum_{i} \sum_{j} p(x_{i} y_{j}) \log \frac{p(x_{i} y_{j})}{p(x_{i}) p(y_{j})}=\sum_{i} \sum_{j} p(x_{i} y_{j}) \log \frac{p(y_{j} \mid x_{i})}{p(y_{j})}$

$=I(Y ; X)$

由上，均匀互信息具备互易性:

$$I(X ; Y)=I(Y ; X)$$

例 假如一条电线上串联了 8 个灯泡 $ x_{1}, x_{2}, \ldots x_{8}$ 如图, 这 8 个灯泡损坏的概率相等 $p(x_{\mathbf{i}})=1 / 8$ , 现 假如只有一个灯泡已损坏, 以致串联灯泡都不能点亮。

未测量前, 8 个灯泡都有可能损坏, 它们损坏的先验概率: $p(x_{\mathrm{i}})=1 / 8$ , 这时存在的不确定性

$$\mathrm{I}(\mathrm{x}_{i})=\log \frac{1}{\mathrm{p}(\mathrm{x}_{i})}=\log _{2} 8=3 \text { bit }$$

测量 1 次后, 可知 4 个灯泡是好的, 另 4 个灯泡中有一个是坏的,这时后验概率 $p(x_{\mathrm{i}} \mid y)=1 / 4$ ，尚存在的不确定性：

$$\mathrm{I}(\mathrm{x}_{i} \mid \mathrm{y})=\log \frac{1}{\mathrm{p}(\mathrm{x}_{i} \mid \mathrm{y})}=\log _{2} 4=2 \text { bit }$$

所取得的信息量就是测量前后不确定性缩小的量, 测量1次取得的信息量:

$$I(x_{i} ; y_{j})=I(x_{i})-I(x_{i} \mid y)=3-2=1 b i t$$

均匀互信息与各类熵的关系

$$\begin{array}{c}I(X ; Y)=H(X)-H(X \mid Y)=H(Y)-H(Y \mid X) \\=H(X)+H(Y)-H(X Y) \\H(X Y)=H(X)+H(Y \mid X)=H(Y)+H(X \mid Y) \\H(X Y) \leq H(X)+H(Y)\end{array}$$

熵只是均匀不确定性的形容，不确定性的打消两熵之差才等于接收端所取得的信息量；

取得的信息量不应该和不确定性一概而论。

I(X;Y)示意X和Y之间的亲密水平，越大，越亲密。

下表有12条训练数据，记录了女性的择偶规范，每条数据蕴含了4个特色。这4个特色对后果的体现水平是不一样的。如何度量这种不同? 用均匀互信息

4 个特色和后果的概率分布别离为

$$\begin{array}{c}{\left[\begin{array}{l}X_{1} \\P\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\text { 帅 } & \text { 不帅 } \\2 / 3 & 1 / 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}X_{2} \\P\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\text { 好 } & \text { 不好 } & \text { 十分好 } \\1 / 2 & 1 / 3 & 1 / 6\end{array}\right]} \\{\left[\begin{array}{c}X_{3} \\P\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\text { 矮 } & \text { 高 } & \text { 中 } \\7 / 12 & 1 / 4 & 1 / 6\end{array}\right] \quad\left[\begin{array}{c}X_{4} \\P\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}\text { 上进 } & \text { 不上进 } \\2 / 3 & 1 / 3\end{array}\right]} \\{\left[\begin{array}{l}Y \\P\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\text { 嫁 } & \text { 不嫁 } \\1 / 2 & 1 / 2\end{array}\right]}\end{array}$$

特色和后果之间的条件概率为 :

$$\begin{array}{l}P\left(Y \mid X_{2}\right)=\left[\begin{array}{cc}1 / 2 & 1 / 2 \\1 / 4 & 3 / 4 \\1 & 0\end{array}\right] \quad P\left(Y \mid X_{3}\right)=\left[\begin{array}{cc}1 / 7 & 6 / 7 \\1 & 0 \\1 & 0\end{array}\right] \\P\left(Y \mid X_{4}\right)=\left[\begin{array}{ll}5 / 8 & 3 / 8 \\1 / 4 & 3 / 4\end{array}\right] \\\end{array}$$

从而联结概率为 :

$$\begin{array}{l}P\left(X_{1}, Y\right)=\left[\begin{array}{ll}1 / 4 & 5 / 12 \\1 / 4 & 1 / 12\end{array}\right] P\left(X_{2}, Y\right)=\left[\begin{array}{cc}1 / 4 & 1 / 4 \\1 / 12 & 1 / 4 \\1 / 6 & 0\end{array}\right] \\P\left(X_{3}, Y\right)=\left[\begin{array}{cc}1 / 12 & 1 / 2 \\1 / 4 & 0 \\1 / 6 & 0\end{array}\right] P\left(X_{4}, Y\right)=\left[\begin{array}{ll}5 / 12 & 1 / 4 \\1 / 12 & 1 / 4\end{array}\right]\end{array}$$

得条件熵: $H(Y \mid X_{1})=0.9067, H(Y \mid X_{2})=0.7704 , H(Y \mid X_{3})=0.3451, H(Y \mid X_{4})=0.9067$

均匀互信息为: $I(X_{1} ; Y)=0.0933, I(X_{2} ; Y)=0.2296 , I(X_{3} ; Y)=0.6549, I(X_{4} ; Y)=0.0933$ .

论断：身高是最次要特色, 其次是性情。只保留这两项即可。

维拉图

$$\begin{array}{l}I(X ; Y)=H(X)-H(X \mid Y) \\=H(Y)-H(Y \mid X) \\=H(X)+H(Y)-H(X Y) \\H(X Y)=H(X)+H(Y \mid X) \\=H(Y)+H(X \mid Y) \\H(X Y) \leq H(X)+H(Y) \\H(X) \geq H(X \mid Y) \\H(Y) \geq H(Y \mid X) \\\end{array}$$

若信道是无噪一一对应信道,信道传递概率：

$$\begin{array}{c}p(y \mid x)=\left\{\begin{array}{ll}0 & y \neq f(x) \\1 & y=f(x)\end{array}\right. \\p(x \mid y)=\frac{p(x y)}{p(y)}=\frac{p(x) p(y \mid x)}{\sum p(x) p(y \mid x)}=\left\{\begin{array}{ll}0 & y \neq f(x) \\1 & y=f(x)\end{array}\right.\end{array}$$

计算得:

$$H(X \mid Y)=0 ; H(Y \mid X)=0$$

$$I(X ; Y)=H(X)=H(Y)$$

若信道输出端 $\mathbf{X}$ 与输入端 $Y$ 齐全统计独立

$$\begin{array}{cc}p(y \mid x)=p(y) & p(x \mid y)=p(x) \\H(X \mid Y)=H(X) ; & H(Y \mid X)=H(Y)\end{array}$$

则: $I(X ; Y)=0$

条件熵

$H(X|Y)$: 信道疑义度，损失熵

  • 信源符号通过有噪信道传输后所引起的信息量的损失。

信源X的熵等于接管到的信息量加上损失掉的信息量。

$H(Y|X)$: 噪声熵，分布熵

  • 它反映了信道中噪声源的不确定性。

输入端信源Y的熵 $H(Y)$ 等于接管到对于X的信息量 $I(X;Y)$ 加上 $H(Y|X)$ ,这齐全是因为信道中噪声引起的。

均匀互信息的性质

非负性： $I(X ; Y) \geq 0$

互易性： $I(X ; Y)=I(Y ; X)$

凸函数性：

  • I(X ; Y) 为概率分布 p(x) 的上凸函数
  • 对于固定的概率分布 p(x), I(X ; Y) 为条件概率 $p(y \mid x)$ 的 下凸函数

极值性：$I(X ; Y) \leq H(X) ; I(X ; Y) \leq H(Y)$

若信道是下图所示的无躁一一对应信道，则有

$$\begin{array}{l}H(X \mid Y)=0 \\H(Y \mid X)=0 \\I(X ; Y)=H(X) \\I(X ; Y)=H(Y)\end{array}$$

参考文献：

  1. Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
  2. Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
  3. 周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
  4. 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.