三方复制机密共享（二）
上次科普介绍了在布尔电路下的三方复制机密共享计划，这次科普介绍把它扩大到环 \( 2^n \) 下的形式。
首先是在环\( 2^n \)下生成三个随机数 \( _1,_2,_3 \) ，并且满足 \( _1+_2+_3=0 \) 。上次科普曾经介绍过满足条件 \( _1⊕_2⊕_3=0 \) 的随机数生成形式，满足条件满足 \( _1+_2+_3=0 \) 的只需对上次的形式进行一些小更改：
Alice、Bob、Candy别离生成随机数1,2,3，Alice将1发送给Bob，Bob将2发送给Candy，Candy将3发送给Alice。接着Alice计算1=1−3，Bob计算2=2−1，Candy计算3=3−2。
显然，\( _1+_2+_3 \)= 1−3+2−1+3−2=0。
--三方产生满足1+2+3=0的随机数--
假如机密为, ，则\( _1=_3−，_2=_1−，_3=_2−；_1=_3−，_2=_1−，_3=_2− \)。Alice持有\( (_1,_1), (_1,_1) \)，Bob持有\( (_2,_2), (_2,_2) \)，Candy持有\( (_3, _3), (_3, _3) \)。
加法的实现形式为：布尔电路上的加法原理雷同，Alice、Bob和Candy在模下间接本地计算\( _+_ \)即可。如Alice计算
\( _1=_1+_1=_3−+_3−=(_3+_3)−(+)，_1=_1+_1 \)。同理Bob计算\( _2=_2+_2=_1−+_1−=(_1+_1)−(+)，_2=_2+_2 \)；Candy计算
\( _3=(_3+_3)=_2−+_2−=(_2+_2)−(+)，_3=_3+_3 \)。能够验证：
--三方加法实现形式--
乘法的实现形式为：
Alice、Bob和Candy利用上述的随机数生成形式，生成满足++=0，条件随机数, , 。Alice计算\( r_{1}=\frac{x_{1} y_{1}-a_{1} b_{1}+\alpha}{3} \)，并且把1发送给Bob；Bob计算\( r_{2}=\frac{x_{2} y_{2}-a_{2} b_{2}+\beta}{3} \)，并且把2发送给Candy；Candy计算\( r_{3}=\frac{x_{3} y_{3}-a_{3} b_{3}+\gamma}{3} \)，并且把3发送给Alice。
Alice让\( _1=−2_3−_1，1=_3−_1 \)；
Bob让\( _2=−2_1−_2，2=_1−_2 \)；
Candy让\( _3=−2_2−_3，_3=_2−_3 \)。
显然：\( _1+_2+_3=_3−_1+_1−_2+_2−_3=0 \)，能够验证：
因而有：
同理可推导出，\( _2=_1−，_3=_2− \)，正确性得证
--三方乘法实现形式--