1 链式前向星

1.1 简介

链式前向星可用于存储图，实质上是一个动态链表。

一般来说，存储图常见的两种形式为：

  • 邻接矩阵
  • 邻接表

邻接表的实现个别应用数组实现，而链式前向星就是应用链表实现的邻接表。

1.2 出处

出处可参考此处。

2 原理

链式前向星有两个外围数组：

  • pre数组：存储的是边的前向链接关系
  • last数组：存储的是某个点最初一次呈现的边的下标

感觉云里雾里对吧，能够看看上面的具体解释。

2.1 pre数组

pre数组存储的是一个链式的边的前向关系，下标以及取值如下：

  • pre数组的下标：边的下标
  • pre数组的值：前向边的下标，如果没有前向边，取值-1

这里的前向边是指，如果某个点，作为起始点，曾经呈现过边x，那么，遍历到以该点作为起始点的下一条边y时，边y的前向边就是边x。

更新pre数组的时候，会遍历每一条边，更新该边对应的前向边。

比方，输出的有向边如下：

n=6 // 顶点数[[0,1],[1,3],[3,5],[2,4],[2,3],[0,5],[0,3],[3,4]] // 边

那么：

  • 对于第一条边，下标为0，那么会更新pre[0]的值，边为0->1，而起始点点0还没有呈现过前向边，那么pre[0]=-1。这样就建设了边0->-1的一个链接关系，也就是说，对于起始点点0，它只有边0这一条边
  • 对于第二条边，下标为1，那么会更新pre[1]的值，边为1->3，而起始点点1还没有呈现过前向边，那么pre[1]=-1。这样就建设了边1->-1的一个链接关系，也就是说，对于起始点点1，它只有边1这一条边
  • 对于第三条边，下标为2，那么会更新pre[2]的值，边为3->5，而起始点点3还没有呈现过前向边，那么pre[2]=-1。这样就建设了边2->-1的一个链接关系，也就是说，对于起始点点3，它只有边2这一条边
  • 对于第四条边，下标为3，那么会更新pre[3]的值，边为2->4，而起始点点2还没有呈现过前向边，那么pre[3]=-1。这样就建设了边3->-1的一个链接关系，也就是说，对于起始点点2，它只有边3这一条边
  • 对于第五条边，下标为4，那么会更新pre[4]的值，边为2->3，而起始点点2，曾经呈现过一条边了，该边的下标是3，也就是前向边为3，那么就会更新pre[4]为前向边的值，也就是pre[4]=3。这样，就建设了边4->3->-1的一个链接关系，也就是对于起始点点2来说，目前有两条边，一条是边4，一条是边3
  • 对于第六条边，下标为5，那么会更新pre[5]的值，边为0->5，而起始点点0，曾经呈现过一条边了，该边的下标是边0，也就是前向边为0，那么就会更新pre[5]为前向边的值，也就是pre[5]=0。这样，就建设了边5->0->-1的一个链接关系，也就是对于起始点点0来说，目前有两条边，一条是边5，一条是边0
  • 对于第七条边，下标为6，那么会更新pre[6]的值，边为0->3，而起始点点0，曾经呈现过不止一条边了，最初一次呈现的边为边5，也就是前向边为5，那么就会更新pre[6]为前向边的值，也就是pre[6]=5。这样，就建设了边6->5->0->-1的一个链接关系，也就是对于起始点点0来说，曾经有三条边了，一条是边6，一条是边5，一条是边0
  • 对于第八条边，下标为7，那么会更新pre[7]的值，边为3->4，而起始点点3，曾经呈现过一条边了，该边的下标是边2，也就是前向边为2，那么就会更新pre[7]为前向边的值，也就是pre[7]=2。这样，就建设了边7->2->-1的一个链接关系，也就是对于起始点点3来说，目前有两条边，一条是边7，一条是边2

这样，边的链接关系就建设下来了：

点 边的链接关系(边的下标)0  6->5->0->-11  1->-12  4->3->-13  7->2->-14  -15  -1

2.2 last数组

last数组存储的是最初一次呈现的前向边的下标，下标以及取值如下：

  • last数组的下标：点
  • last数组的值：最初一次呈现的前向边的下标

last数组会将所有值初始化为-1，示意所有的点在没有遍历前都是没有前向边的。

应用下面的数据举例：

n=6 // 顶点数[[0,1],[1,3],[3,5],[2,4],[2,3],[0,5],[0,3],[3,4]] // 边

last数组会与pre数组一起在遍历边的时候更新：

  • 遍历到第一条边：下标为0，边为0->1，那么会更新以0为起始点的前向边的值，也就是本人，last[0]=0。而后，如果下一次遍历到了以0为起始点的边，比方0->5，那么0->5的前向边就是边0，而边0就存储在last[0]中，下次须要的时候间接取last[0]即可
  • 遍历到第二条边：下标为1，边为1->3，那么会更新以1为起始点的最初一次呈现的前向边的值，也就是last[1]=1
  • 遍历到第三条边：下标为2，边为3->5，那么会更新以3为起始点的最初一次呈现的前向边的值，也就是last[3]=2
  • 遍历到第四条边：下标为3，边为2->4，那么会更新以2为起始点的最初一次呈现的前向边的值，也就是last[2]=3
  • 遍历到第五条边：下标为4，边为2->3，那么会更新以2为起始点的最初一次呈现的前向边的值，也就是last[2]=4
  • 遍历到第六条边：下标为5，边为0->5，那么会更新以0为起始点的最初一次呈现的前向边的值，也就是last[0]=5
  • 遍历到第七条边：下标为6，边为0->3，那么会更新以0为起始点的最初一次呈现的前向边的值，也就是last[0]=6
  • 遍历到第八条边：下标为7，边为3->4，那么会更新以3为起始点的最初一次呈现的前向边的值，也就是last[3]=7

在遍历每条边的时候，会先从last数组取值并赋给pre去生成链接关系，而后更新last数组中对应起始点的值为以后的边的下标。

3 代码

3.1 生成数组

生成last以及pre数组：

public class Solution {    private int[] pre;    private int[] last;    private void buildGraph(int n, int[][] edge) {        int edgeCount = edge.length;        pre = new int[edgeCount];        last = new int[n];        Arrays.fill(last, -1);        for (int i = 0; i < edgeCount; i++) {            int v0 = edge[i][0];            pre[i] = last[v0];            last[v0] = i;        }    }}

pre的范畴与边数无关，而last的范畴与点数无关。一开始须要初始化last数组为-1，而后遍历每一条边：

  • 遍历边时仅须要晓得起始点即可，因为起点能够通过边的下标获取到，不须要存储
  • 遍历时首先更新pre数组为最初一次呈现的前向边的下标，也就是对应起始点的last数组的值
  • 最初更新last数组，对应起始点的值更新为以后边的下标

3.2 遍历

public class Solution {    private int[] pre;    private int[] last;    private void visit(int n, int[][] edge) {        for (int i = 0; i < n; i++) {            System.out.println("以后顶点:" + i);            for (int lastEdge = last[i]; lastEdge != -1; lastEdge = pre[lastEdge]) {                System.out.println(edge[lastEdge][0] + "->" + edge[lastEdge][1]);            }        }    }}

遍历从点开始，首先通过last数组获得最初一条呈现的前向边的下标，而后遍历该边，最初通过pre数组更新前向边，也就是对链接关系进行遍历。

3.3 残缺测试代码

import java.util.Arrays;public class Solution {    private int[] pre;    private int[] last;    private void buildGraph(int n, int[][] edge) {        int edgeCount = edge.length;        pre = new int[edgeCount];        last = new int[n];        Arrays.fill(last, -1);        for (int i = 0; i < edgeCount; i++) {            int v0 = edge[i][0];            pre[i] = last[v0];            last[v0] = i;        }    }    private void visit(int n, int[][] edge) {        for (int i = 0; i < n; i++) {            System.out.println("以后顶点:" + i);            for (int lastEdge = last[i]; lastEdge != -1; lastEdge = pre[lastEdge]) {                System.out.println(edge[lastEdge][0] + "->" + edge[lastEdge][1]);            }        }    }    public void build() {        int n = 6;        int[][] edge = {{0, 1}, {1, 3}, {3, 5}, {2, 4}, {2, 3}, {0, 5}, {0, 3}, {3, 4}};        buildGraph(n, edge);        visit(n, edge);    }}

输入：

以后顶点:00->30->50->1以后顶点:11->3以后顶点:22->32->4以后顶点:33->43->5以后顶点:4以后顶点:5

能够看到输入的程序与edge数组是相同的，比方edge数组中的以0为起始点的边的程序为0->1,0->5,0->3，而输入程序为0->3,0->5,0->1，这是因为pre的前向链接关系，生成pre数组的时候，采纳的是相似链表中的“头插法”生成。

如果想要和原来的程序保持一致，能够将edge数组反转再生成pre和last数组：

private void buildGraph(int n, int[][] edge) {    int edgeCount = edge.length;    int[][] reverseEdge = new int[edgeCount][2];    for (int i = 0; i < edgeCount; i++) {        reverseEdge[i] = edge[edgeCount - i - 1];    }    pre = new int[edgeCount];    last = new int[n];    Arrays.fill(last, -1);    for (int i = 0; i < edgeCount; i++) {        int v0 = reverseEdge[i][0];        pre[i] = last[v0];        last[v0] = i;    }}

而后遍历edge数组的时候也须要反转：

private void visit(int n, int[][] edge) {    int edgeCount = edge.length;    int[][] reverseEdge = new int[edgeCount][2];    for (int i = 0; i < edgeCount; i++) {        reverseEdge[i] = edge[edgeCount - i - 1];    }    for (int i = 0; i < n; i++) {        System.out.println("以后顶点:" + i);        for (int lastEdge = last[i]; lastEdge != -1; lastEdge = pre[lastEdge]) {            System.out.println(reverseEdge[lastEdge][0] + "->" + reverseEdge[lastEdge][1]);        }    }}

测试代码不变：

public void build() {    int n = 6;    int[][] edge = {{0, 1}, {1, 3}, {3, 5}, {2, 4}, {2, 3}, {0, 5}, {0, 3}, {3, 4}};    buildGraph(n, edge);    visit(n, edge);}

输入：

以后顶点:00->10->50->3以后顶点:11->3以后顶点:22->42->3以后顶点:33->53->4以后顶点:4以后顶点:5

能够看到输入程序和edge对应的边的程序统一了。

4 疑难

4.1 为什么叫pre数组而不是next数组

笔者看到网上的文章很多都是如下三个数组：

  • head[u]数组：示意以u作为终点的第一条边的编号
  • next[cnt]数组：示意编号为cnt的边的下一条边，这条边与cnt同一个终点
  • to[cnt]数组：示意编号为cnt的边的起点

其中to[cnt]数组在本篇文章中没有实现，因为曾经有edge数组存储了。

head[u]数组，相当于本篇文章中的last数组，而next[cnt]数组，相当于本篇文章中的pre数组。

那么为什么取不同的名字？

只是笔者认为，从本人的角度登程，这样好比拟了解。如果还是感觉难了解，能够到文末的参考链接处看一下其余文章。

4.2 这个货色到底有什么用

链式前向星能做的题目，一般来说邻接表也能做。链式前向星，不是用来帮你AC题目来的，不是说某道题非得用它。它是用来帮忙你在AC的根底上，进一步提高效率。链式前向星是一种优化伎俩，它只是帮忙你优化，而不是学习了它，就能AC题目。

5 参考

  • Malash's Blog-链式前向星及其简略利用
  • CSDN-链式前向星--最通俗易懂的解说
  • 知乎-链式前向星