题目形容

这是 LeetCode 上的 813. 最大平均值和的分组 ，难度为 中等。

Tag : 「序列 DP」、「前缀和」、「动静布局」、「数学」

给定数组 nums 和一个整数 k 。咱们将给定的数组 nums 分成 最多 k 个相邻的非空子数组 。 分数 由每个子数组内的平均值的总和形成。

留神咱们必须应用 nums 数组中的每一个数进行分组，并且分数不肯定须要是整数。

返回咱们所能失去的最大 分数 是多少。答案误差在 $10^{-6}$ 内被视为是正确的。

示例 1:

输出: nums = [9,1,2,3,9], k = 3输入: 20.00000解释: nums 的最优分组是[9], [1, 2, 3], [9]. 失去的分数是 9 + (1 + 2 + 3) / 3 + 9 = 20. 咱们也能够把 nums 分成[9, 1], [2], [3, 9]. 这样的分组失去的分数为 5 + 2 + 6 = 13, 但不是最大值.

示例 2:

输出: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 4输入: 20.50000

提醒:

  • $1 <= nums.length <= 100$
  • $1 <= nums[i] <= 10^4$

前缀和 + 序列 DP

题意可整顿为一句话：将 $n$ 个元素划分为「最多」$m$ 个间断段，最大化间断段的平均值之和。

为了不便，咱们令所有数组下标从 $1$ 开始。

定义 $f[i][j]$ 为思考将前 $i$ 个元素划分成 $j$ 份的最大均匀和，答案为 $f[n][k]$，其中 $1 \leq k \leq m$。

不失一般性思考 $f[i][j]$ 该如何计算，因为划分进去的子数组不能是空集，因而咱们能够依据 $j$ 的大小分状况探讨：

  • 当 $j = 1$，此时有 $f[i][j] = \frac{\sum_{idx = 1}^{i} nums[idx - 1]}{i}$
  • 当 $j > 1$，此时枚举最初一个子数组的终点 $k$，其中 $2 \leq k \leq i$，此时有平均值之和为 $f[k - 1][j - 1] + \frac{\sum_{idx = k}^{i} nums[idx]}{i - k + 1}$，最终 $f[i][j]$ 为枚举所有 $k$ 值的最大值

其中求解间断段之和能够用「前缀和」进行优化。同时，想要简化代码，还能够利用一个简略的数学论断：划分份数越多，平均值之和越大，因而想要获得最大值必然是恰好划分成 $m$ 份。

Java 代码：

class Solution {    public double largestSumOfAverages(int[] nums, int m) {        int n = nums.length;        double[] sum = new double[n + 10];        for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + nums[i - 1];        double[][] f = new double[n + 10][m + 10];        for (int i = 1; i <= n; i++) {            for (int j = 1; j <= Math.min(i, m); j++) {                if (j == 1) {                    f[i][1] = sum[i] / i;                } else {                    for (int k = 2; k <= i; k++) {                        f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[k - 1][j - 1] + (sum[i] - sum[k - 1]) / (i - k + 1));                    }                }            }        }        return f[n][m];    }}

TypeScript 代码：

function largestSumOfAverages(nums: number[], m: number): number {    const n = nums.length    const sum = new Array<number>(n + 10).fill(0)    for (let i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + nums[i - 1]    const f = new Array<Array<number>>()    for (let i = 0; i < n + 10; i++) f[i] = new Array<number>(m + 10).fill(0)    for (let i = 1; i <= n; i++) {        for (let j = 1; j <= Math.min(i, m); j++) {            if (j == 1) {                f[i][j] = sum[i] / i            } else {                for (let k = 2; k <= i; k++) {                    f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[k - 1][j - 1] + (sum[i] - sum[k - 1]) / (i - k + 1))                }            }        }    }    return f[n][m]}

Python 代码：

class Solution:    def largestSumOfAverages(self, nums: List[int], m: int) -> float:        n = len(nums)        psum = [0] * (n + 10)        for i in range(1, n + 1):            psum[i] = psum[i - 1] + nums[i - 1]        f = [[0] * (m + 10) for _ in range(n + 10)]        for i in range(1, n + 1):            for j in range(1, min(i, m) + 1):                if j == 1:                    f[i][j] = psum[i] / i                else:                    for k in range(2, i + 1):                        f[i][j] = max(f[i][j], f[k - 1][j - 1] + (psum[i] - psum[k - 1]) / (i - k + 1))        return f[n][m]
  • 工夫复杂度：$O(n^2 \times m)$
  • 空间复杂度：$O(n \times m)$

最初

这是咱们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.813 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，局部是有锁题，咱们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章外面，除了解说解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果波及通解还会相应的代码模板。

为了不便各位同学可能电脑上进行调试和提交代码，我建设了相干的仓库：https://github.com/SharingSou... 。

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