关于set:Y-分钟速成-Set-theory

集合论是数学的一个分支，钻研汇合、它们的运算和它们的性质。

汇合由不反复的项组成。

根本符号

运算符

并运算符，∪，示意“或”；
交运算符，∩，示意“且”；差
运算符，\，示意“不包含”；
补运算符，'，示意补集;
叉积运算符，×，示意笛卡尔积。

限定词

冒号限定词，:，示意“使得”；
隶属限定词，∈，示意“属于”；
子集限定词，⊆，示意“是……的子集”;
真子集限定词，⊂，示意“是……的真子集”。

重要的汇合

∅，空集，即不蕴含任何元素的汇合；
ℕ，自然数集；
ℤ，整数集；
ℚ，有理数集；
ℝ，实数集。

对于以上汇合，有如下几点须要留神： 1. 空集是其自身的子集（并且也是任何其余汇合的子集），即使空集不蕴含任何项； 2. 数学家们对于零是否为自然数的认识通常并不对立，教科书个别会明确阐明作者是否认为零是自然数。

基数

汇合的基数，或者说大小，由该汇合中的我的项目数量决定。基数运算符为 |...|。

例如，若 S = { 1, 2, 4 }，则 |S| = 3。

空集

能够在汇合符号中应用不成立的条件来结构空集，例如，∅ = { x : x ≠ x }，或 ∅ = { x : x ∈ N, x < 0 }；
空集总是惟一的（即，有且只有一个空集）；
空集是所有汇合的子集；
空集的基数为 0，即 |∅| = 0。

汇合的示意

汇合的逐项结构

汇合能够通过蕴含其全副项的列表逐项生成。例如，S = { a, b, c, d }。

只有形成汇合的项分明，长列表能够用省略号缩短。例如，E = { 2, 4, 6, 8, ... } 显然为所有偶数形成的汇合，它蕴含无穷多项，尽管咱们只显式写出了其中四项。

汇合结构器

汇合结构器符号是结构汇合的一种更具描述性的形式。它依赖于一个主语和一个谓词，使得 S = { 主语 : 谓词 }。例如，

A = { x : x 是元音字母 } = { a, e, i, o, u, y}B = { x : x ∈ N, x < 10 } = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }C = { x : x = 2k, k ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }

有时，谓词可能会 “漏 "到主语中，例如，

D = { 2x : x ∈ N } = { 0, 2, 4, 6, 8, ... }

关系

从属关系

如果值 a 蕴含在汇合 A 中，那么咱们说 a 属于 A，并用符号示意为 a ∈ A。
如果值 a 不蕴含于汇合 A 中，那么咱们说 a 不属于 A，并用符号示意为 a ∉ A。

相等关系

如果两个汇合包含雷同的项，那么咱们说这两个汇合相等，例如，A = B。汇合的相等关系于程序无关，例如 { 1, 2, 3, 4 } = { 2, 3, 1, 4 }。
汇合中的元素不能反复，例如 { 1, 2, 2, 3, 4, 3, 4, 2 } = { 1, 2, 3, 4 }。
汇合 A 与 B 相等当且仅当 A ⊆ B 且 B ⊆ A。

非凡汇合

幂集

令 A 为任意汇合。幂集指的是包含了 A 的所有子集的汇合，记作 P(A)。如果汇合 A 由 2n 个元素组成，那么 P(A) 中有 2^n 个元素。

P(A) = { x : x ⊆ A }

两个汇合的运算

并

给定汇合 A 和 B，两个汇合的并由呈现在 A 或 B 中的项形成，记作 A ∪ B。

A ∪ B = { x : x ∈ A ∪ x ∈ B }

交

给定汇合 A 和 B，两个汇合的交由呈现在 A 和 B 中的项形成，记作 A ∩ B。

A ∩ B = { x : x ∈ A, x ∈ B }

差

给定汇合 A 和 B，A 对于 B 的汇合差指的是属于 A 但不属于 B 的每一项。

A \ B = { x : x ∈ A, x ∉ B }

对称差

给定汇合 A 和 B，对称差指的是属于 A 或 B 但不属于它们交加的所有项。

A △ B = { x : ((x ∈ A) ∩ (x ∉ B)) ∪ ((x ∈ B) ∩ (x ∉ A)) }A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A)

笛卡尔积给定汇合

A 和 B，A 和 B 的笛卡尔积由 A 和 B 的项的所有组合形成。

A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B }

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