题目形容

这是 LeetCode 上的 799. 香槟塔 ，难度为 中等。

Tag : 「动静布局」、「线性 DP」

咱们把玻璃杯摆成金字塔的形态，其中 第一层 有 1 个玻璃杯， 第二层 有 2 个，顺次类推到第 100 层，每个玻璃杯 (250ml) 将盛有香槟。

从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟，当顶层的杯子满了，任何溢出的香槟都会立即等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了，就会等流量的流向它们左右两边的杯子，顺次类推。（当最底层的玻璃杯满了，香槟会流到地板上）

例如，在倾倒一杯香槟后，最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后，第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后，第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后，第三层两头的玻璃杯盛放了一半的香槟，他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟，如下图所示。

当初当倾倒了非负整数杯香槟后，返回第 i 行 j 个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例（ i 和 j 都从0开始）。

示例 1:

输出: poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的地位数) = 1, query_row(行数) = 1输入: 0.00000解释: 咱们在顶层（下标是（0，0））倒了一杯香槟后，没有溢出，因而所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。

示例 2:

输出: poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的地位数) = 1, query_row(行数) = 1输入: 0.50000解释: 咱们在顶层（下标是（0，0）倒了两杯香槟后，有一杯量的香槟将从顶层溢出，位于（1，0）的玻璃杯和（1，1）的玻璃杯平分了这一杯香槟，所以每个玻璃杯有一半的香槟。

示例 3:

输出: poured = 100000009, query_row = 33, query_glass = 17输入: 1.00000

提醒:

  • $0 <= poured <= 10^9$
  • $0 <= query_glass <= query_row < 100$

线性 DP

为了不便，咱们令 poured 为 k，query_row 和 query_glass 别离为 $n$ 和 $m$。

定义 $f[i][j]$ 为第 $i$ 行第 $j$ 列杯子所通过的水的流量（而不是最终残余的水量）。

起始咱们有 $f[0][0] = k$，最终答案为 $\min(f[n][m], 1)$。

不失一般性思考 $f[i][j]$ 可能更新哪些状态：显然当 $f[i][j]$ 有余 $1$ 的时候，不会有水从杯子里溢出，即 $f[i][j]$ 将不能更新其余状态；当 $f[i][j]$ 大于 $1$ 时，将会有 $f[i][j] - 1$ 的水会等量留到下一行的杯子里，所流向的杯子别离是「第 $i + 1$ 行第 $j$ 列的杯子」和「第 $i + 1$ 行第 $j + 1$ 列的杯子」，减少流量均为 $\frac{f[i][j] - 1}{2}$，即有 $f[i + 1][j] += \frac{f[i][j] - 1}{2}$ 和 $f[i + 1][j + 1] += \frac{f[i][j] - 1}{2}$。

Java 代码：

class Solution {    public double champagneTower(int k, int n, int m) {        double[][] f = new double[n + 10][n + 10];        f[0][0] = k;        for (int i = 0; i <= n; i++) {            for (int j = 0; j <= i; j++) {                if (f[i][j] <= 1) continue;                f[i + 1][j] += (f[i][j] - 1) / 2;                f[i + 1][j + 1] += (f[i][j] - 1) / 2;            }        }        return Math.min(f[n][m], 1);    }}

TypeScript 代码：

function champagneTower(k: number, n: number, m: number): number {    const f = new Array<Array<number>>()    for (let i = 0; i < n + 10; i++) f.push(new Array<number>(n + 10).fill(0))    f[0][0] = k    for (let i = 0; i <= n; i++) {        for (let j = 0; j <= i; j++) {            if (f[i][j] <= 1) continue            f[i + 1][j] += (f[i][j] - 1) / 2            f[i + 1][j + 1] += (f[i][j] - 1) / 2        }    }    return Math.min(f[n][m], 1)}

Python3 代码：

class Solution:    def champagneTower(self, k: int, n: int, m: int) -> float:        f = [[0] * (n + 10) for _ in range(n + 10)]        f[0][0] = k        for i in range(n + 1):            for j in range(i + 1):                if f[i][j] <= 1:                    continue                f[i + 1][j] += (f[i][j] - 1) / 2                f[i + 1][j + 1] += (f[i][j] - 1) / 2        return min(f[n][m], 1)
  • 工夫复杂度：$O(n^2)$
  • 空间复杂度：$O(n^2)$

最初

这是咱们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.799 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，局部是有锁题，咱们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章外面，除了解说解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果波及通解还会相应的代码模板。

为了不便各位同学可能电脑上进行调试和提交代码，我建设了相干的仓库：https://github.com/SharingSou... 。

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