题目形容
这是 LeetCode 上的 295. 数据流的中位数 ，难度为 艰难。
Tag : 「优先队列（堆）」
中位数是有序列表两头的数。如果列表长度是偶数，中位数则是两头两个数的平均值。
例如，
[2,3,4]的中位数是 $3$[2,3]的中位数是 $(2 + 3) / 2 = 2.5$
设计一个反对以下两种操作的数据结构：
void addNum(int num)- 从数据流中增加一个整数到数据结构中。double findMedian()- 返回目前所有元素的中位数。
示例：
addNum(1)addNum(2)findMedian() -> 1.5addNum(3) findMedian() -> 2进阶:
- 如果数据流中所有整数都在 $0$ 到 $100$ 范畴内，你将如何优化你的算法？
- 如果数据流中
99%的整数都在 $0$ 到 $100$ 范畴内，你将如何优化你的算法？
优先队列（堆）
这是一道经典的数据结构使用题。
具体的，咱们能够应用两个优先队列（堆）来保护整个数据流数据，令保护数据流左半边数据的优先队列（堆）为 l，保护数据流右半边数据的优先队列（堆）为 r。
显然，为了能够在 $O(1)$ 的复杂度内获得以后中位数，咱们该当令 l 为大根堆，r 为小根堆，并人为固定 l 和 r 之前存在如下的大小关系：
- 当数据流元素数量为偶数：
l和r大小雷同，此时动静中位数为两者堆顶元素的平均值； - 当数据流元素数量为奇数：
l比r多一，此时动静中位数为l的堆顶原数。
为了满足上述说的奇偶性堆大小关系，在进行 addNum 时，咱们该当分状况解决：
插入前两者大小雷同，阐明插入前数据流元素个数为偶数，插入后变为奇数。咱们冀望操作完达到「
l的数量为r多一，同时双堆维持有序」，进一步分状况探讨：- 如果
r为空，阐明以后插入的是首个元素，间接增加到l即可； - 如果
r不为空，且num <= r.peek()，阐明num的插入地位不会在后半局部（不会在r中），间接加到l即可； - 如果
r不为空，且num > r.peek()，阐明num的插入地位在后半局部，此时将r的堆顶元素放到l中，再把num放到r（相当于从r中置换一位进去放到l中）。
- 如果
插入前两者大小不同，阐明前数据流元素个数为奇数，插入后变为偶数。咱们冀望操作完达到「
l和r数量相等，同时双堆维持有序」，进一步分状况探讨（此时l必然比r元素多一）：- 如果
num >= l.peek()，阐明num的插入地位不会在前半部分（不会在l中），间接增加到r即可。 - 如果
num < l.peek()，阐明num的插入地位在前半部分，此时将l的堆顶元素放到r中，再把num放入l中（相等于从l中替换一位进去当到r中）。
- 如果
代码：
class MedianFinder { PriorityQueue<Integer> l = new PriorityQueue<>((a,b)->b-a); PriorityQueue<Integer> r = new PriorityQueue<>((a,b)->a-b); public void addNum(int num) { int s1 = l.size(), s2 = r.size(); if (s1 == s2) { if (r.isEmpty() || num <= r.peek()) { l.add(num); } else { l.add(r.poll()); r.add(num); } } else { if (l.peek() <= num) { r.add(num); } else { r.add(l.poll()); l.add(num); } } } public double findMedian() { int s1 = l.size(), s2 = r.size(); if (s1 == s2) { return (l.peek() + r.peek()) / 2.0; } else { return l.peek(); } }}- 工夫复杂度：
addNum函数的复杂度为 $O(\log{n})$；findMedian函数的复杂度为 $O(1)$ - 空间复杂度：$O(n)$
进阶
- 如果数据流中所有整数都在 $0$ 到 $100$ 范畴内，你将如何优化你的算法？
能够应用建设长度为 $101$ 的桶，每个桶别离统计每个数的呈现次数，同时记录数据流中总的元素数量，每次查找中位数时，先计算出中位数是第几位，从前往后扫描所有的桶失去答案。
这种做法相比于对顶堆做法，计算量上没有劣势，更多的是空间上的优化。
对顶堆解法两个操作中耗时操作复杂度为 $O(\log{n})$，$\log$ 操作常数不会超过 $3$，在极限数据 $10^7$ 状况下计算量依然低于耗时操作复杂度为 $O(C)$（$C$ 固定为 $101$）桶计数解法。
- 如果数据流中
99%的整数都在 $0$ 到 $100$ 范畴内，你将如何优化你的算法？
和上一问解法相似，对于 $1$% 采纳哨兵机制进行解决即可，在惯例的最小桶和最大桶两侧别离保护一个有序序列，即建设一个代表负无穷和正无穷的桶。
上述两个进阶问题的代码如下，但留神因为实在样例的数据分布不是进阶所形容的那样（不是绝大多数都在 $[0,100]$ 范畴内），所以会 TLE。
代码：
class MedianFinder { TreeMap<Integer, Integer> head = new TreeMap<>(), tail = new TreeMap<>(); int[] arr = new int[101]; int a, b, c; public void addNum(int num) { if (num >= 0 && num <= 100) { arr[num]++; b++; } else if (num < 0) { head.put(num, head.getOrDefault(num, 0) + 1); a++; } else if (num > 100) { tail.put(num, tail.getOrDefault(num, 0) + 1); c++; } } public double findMedian() { int size = a + b + c; if (size % 2 == 0) return (find(size / 2) + find(size / 2 + 1)) / 2.0; return find(size / 2 + 1); } int find(int n) { if (n <= a) { for (int num : head.keySet()) { n -= head.get(num); if (n <= 0) return num; } } else if (n <= a + b) { n -= a; for (int i = 0; i <= 100; i++) { n -= arr[i]; if (n <= 0) return i; } } else { n -= a + b; for (int num : tail.keySet()) { n -= tail.get(num); if (n <= 0) return num; } } return -1; // never }}最初
这是咱们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.295 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，局部是有锁题，咱们将先把所有不带锁的题目刷完。
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