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本系列为 斯坦福CS231n 《深度学习与计算机视觉(Deep Learning for Computer Vision)》的全套学习笔记，对应的课程视频能够在 这里 查看。更多材料获取形式见文末。

引言

在上一篇 深度学习与CV教程(3) | 损失函数与最优化 内容中，咱们给大家介绍了线性模型的损失函数构建与梯度降落等优化算法，【本篇内容】ShowMeAI给大家切入到神经网络，解说神经网络计算图与反向流传以及神经网络构造等相干常识。

本篇重点

  • 神经网络计算图
  • 反向流传
  • 神经网络构造

1.反向流传算法

神经网络的训练，利用到的梯度降落等办法，须要计算损失函数的梯度，而其中最外围的常识之一是反向流传，它是利用数学中链式法则递归求解简单函数梯度的办法。而像tensorflow、pytorch等支流AI工具库最外围的智能之处也是可能主动微分，在本节内容中ShowMeAI就联合cs231n的第4讲内容开展解说一下神经网络的计算图和反向流传。

对于神经网络反向流传的解释也能够参考ShowMeAI的 深度学习教程 | 吴恩达专项课程 · 全套笔记解读 中的文章 神经网络根底、浅层神经网络、深层神经网络 里对于不同深度的网络前向计算和反向流传的解说

1.1 标量模式反向流传

1) 引例

咱们来看一个简略的例子，函数为 \(f(x,y,z) = (x + y) z\)。初值 \(x = -2\)，\(y = 5\)，\(z = -4\)。这是一个能够间接微分的表达式，然而咱们应用一种有助于直观了解反向流传的办法来辅助了解。

下图是整个计算的线路图，绿字局部是函数值，红字是梯度。（梯度是一个向量，但通常将对 \(x\) 的偏导数称为 \(x\) 上的梯度。）


上述公式能够分为2局部， \(q = x + y\) 和 \(f = q z\)。它们都很简略能够间接写出梯度表达式：

  • \(f\) 是 \(q\) 和 \(z\) 的乘积， 所以 \(\frac{\partial f}{\partial q} = z=-4\)，\(\frac{\partial f}{\partial z} = q=3\)
  • \(q\) 是 \(x\) 和 \(y\) 相加，所以 \(\frac{\partial q}{\partial x} = 1\)，\(\frac{\partial q}{\partial y} = 1\)

咱们对 \(q\) 上的梯度不关怀（ \(\frac{\partial f}{\partial q}\) 没有用途）。咱们关怀 \(f\) 对于 \(x,y,z\) 的梯度。链式法则通知咱们能够用「乘法」将这些梯度表达式链接起来，比方

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial x} =-4$$

  • 同理， \(\frac{\partial f}{\partial y} =-4\)，还有一点是 \(\frac{\partial f}{\partial f}=1\)

前向流传从输出计算到输入（绿色），反向流传从尾部开始，依据链式法则递归地向前计算梯度（显示为红色），始终到网络的输出端。能够认为，梯度是从计算链路中回流。


上述计算的参考 python 实现代码如下：

# 设置输出值x = -2; y = 5; z = -4# 进行前向流传q = x + y # q 是 3f = q * z # f 是 -12# 进行反向流传:# 首先回传到 f = q * zdfdz = q # df/dz = q, 所以对于z的梯度是3dfdq = z # df/dq = z, 所以对于q的梯度是-4# 当初回传到q = x + ydfdx = 1.0 * dfdq # dq/dx = 1. 这里的乘法是因为链式法则。所以df/dx是-4dfdy = 1.0 * dfdq # dq/dy = 1.所以df/dy是-4'''个别能够省略df'''

2) 直观了解反向流传

反向流传是一个柔美的部分过程。

以下图为例，在整个计算线路图中，会给每个门单元（也就是 \(f\) 结点）一些输出值 \(x\) , (y\) 并立刻计算这个门单元的输入值 \(z\) ，和以后节点输入值对于输出值的部分梯度（local gradient） \(\frac{\partial z}{\partial x}\) 和 \(\frac{\partial z}{\partial y}\) 。


门单元的这两个计算在前向流传中是齐全独立的，它无需晓得计算线路中的其余单元的计算细节。但在反向流传的过程中，门单元将取得整个网络的最终输入值在本人的输入值上的梯度 \(\frac{\partial L}{\partial z}\) 。

依据链式法则，整个网络的输入对该门单元的每个输出值的梯度，要用回传梯度乘以它的输入对输出的部分梯度，失去 \(\frac{\partial L}{\partial x}\) 和 \(\frac{\partial L}{\partial y}\) 。这两个值又能够作为后面门单元的回传梯度。

因而，反向流传能够看做是门单元之间在通过梯度信号互相通信，只有让它们的输出沿着梯度方向变动，无论它们本人的输入值在何种水平回升或升高，都是为了让整个网络的输入值更高。

比方引例中 \(x,y\) 梯度都是 \(-4\)，所以让 \(x,y\) 减小后，\(q\) 的值尽管也会减小，但最终的输入值 \(f\) 会增大（当然损失函数要的是最小）。

3) 加法门、乘法门和max门

引例中用到了两种门单元：加法和乘法。

  • 加法求偏导： \(f(x,y) = x + y \rightarrow \frac{\partial f}{\partial x} = 1 \frac{\partial f}{\partial y} = 1\)
  • 乘法求偏导： \(f(x,y) = x y \rightarrow \frac{\partial f}{\partial x} = y \frac{\partial f}{\partial y} = x\)

除此之外，罕用的操作还包含取最大值：

$$\begin{aligned}f(x,y) &= \max(x, y) \\\rightarrow \frac{\partial f}{\partial x} &= \mathbb{1}(x \ge y)\\\frac{\partial f}{\partial y} &\mathbb{1}(y \ge x)\end{aligned}$$

上式含意为：若该变量比另一个变量大，那么梯度是 \(1\)，反之为 \(0\)。


  • 加法门单元是梯度分配器，输出的梯度都等于输入的梯度，这一行为与输出值在前向流传时的值无关；
  • 乘法门单元是梯度转换器，输出的梯度等于输入梯度乘以另一个输出的值，或者乘以倍数 \(a\)（\(ax\) 的模式乘法门单元）；max 门单元是梯度路由器，输出值大的梯度等于输入梯度，小的为 \(0\)。

乘法门单元的部分梯度就是输出值，然而是相互交换之后的，而后依据链式法则乘以输入值的梯度。基于此，如果乘法门单元的其中一个输出十分小，而另一个输出十分大，那么乘法门会把大的梯度调配给小的输出，把小的梯度调配给大的输出。

以咱们之前讲到的线性分类器为例，权重和输出进行点积 \(w^Tx_i\) ，这阐明输出数据的大小对于权重梯度的大小有影响。具体的，如在计算过程中对所有输出数据样本 \(x_i\) 乘以 100，那么权重的梯度将会增大 100 倍，这样就必须升高学习率来补救。

也阐明了数据预处理有很重要的作用，它即便只是有渺小变动，也会产生微小影响。

对于梯度在计算线路中是如何流动的有一个直观的了解，能够帮忙调试神经网络。

4) 简单示例

咱们来看一个简单一点的例子：

$$f(w,x) = \frac{1}{1+e^{-(w_0x_0 + w_1x_1 + w_2)}}$$

这个表达式须要应用新的门单元：

$$\begin{aligned}f(x) &= \frac{1}{x} \\\rightarrow \frac{df}{dx} &=- \frac{1}{x^2}\ f_c(x) = c + x \\\rightarrow \frac{df}{dx} &= 1 \ f(x) = e^x \\\rightarrow \frac{df}{dx} &= e^x \ f_a(x) = ax \\\rightarrow \frac{df}{dx} &= a\end{aligned}$$

计算过程如下：


  • 对于 \(1/x\) 门单元，回传梯度是 \(1\)，部分梯度是 \(-1/x^2=-1/1.37^2=-0.53\) ，所以输出梯度为 \(1 \times -0.53 = -0.53\)；\(+1\) 门单元不扭转梯度还是 \(-0.53\)
  • exp门单元部分梯度是 \(e^x=e^{-1}\) ，而后乘回传梯度 \(-0.53\) 后果约为 \(-0.2\)
  • 乘 \(-1\) 门单元会将梯度加负号变为 \(0.2\)
  • 加法门单元会调配梯度，所以从上到下三个加法分支都是 \(0.2\)
  • 最初两个乘法单元会转换梯度，把回传梯度乘另一个输出值作为本人的梯度，失去 \(-0.2\)、\(0.4\)、\(-0.4\)、\(-0.6\)

5) Sigmoid门单元

咱们能够将任何可微分的函数视作「门」。能够将多个门组合成一个门，也能够依据须要将一个函数拆成多个门。咱们察看能够发现，最右侧四个门单元能够合成一个门单元，\(\sigma(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}\) ，这个函数称为 sigmoid 函数。

sigmoid 函数能够微分：

$$\frac{d\sigma(x)}{dx} = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} = \left( \frac{1 + e^{-x} - 1}{1 + e^{-x}} \right) \left( \frac{1}{1+e^{-x}} \right) = \left( 1 - \sigma(x) \right) \sigma(x)$$

所以下面的例子中曾经计算出 \(\sigma(x)=0.73\) ，能够间接计算出乘 \(-1\) 门单元输出值的梯度为：\(1 \ast (1-0.73) \ast0.73~=0.2\)，计算简化很多。


下面这个例子的反向流传的参考 python 实现代码如下：

# 假如一些随机数据和权重w = [2,-3,-3] x = [-1, -2]# 前向流传，计算输入值dot = w[0]*x[0] + w[1]*x[1] + w[2]f = 1.0 / (1 + math.exp(-dot)) # sigmoid函数# 反向流传，计算梯度ddot = (1 - f) * f # 点积变量的梯度, 应用sigmoid函数求导dx = [w[0] * ddot, w[1] * ddot] # 回传到xdw = [x[0] * ddot, x[1] * ddot, 1.0 * ddot] # 回传到w# 最终失去输出的梯度

在实际操作中，有时候咱们会把前向流传分成不同的阶段，这样能够让反向流传过程更加简洁。比方创立一个两头变量 \(dot\)，寄存 \(w\) 和 \(x\) 的点乘后果。在反向流传时，能够很快计算出装着 \(w\) 和 \(x\) 等的梯度的对应的变量（比方 \(ddot\)，\(dx\) 和 \(dw\)）。

本篇内容列了很多例子，咱们心愿通过这些例子解说「前向流传」与「反向流传」过程，哪些函数能够被组合成门，如何简化，这样他们能够“链”在一起，让代码量更少，效率更高。

6) 分段计算示例

$$f(x,y) = \frac{x + \sigma(y)}{\sigma(x) + (x+y)^2}$$

这个表达式只是为了实际反向流传，如果间接对 \(x,y\) 求导，运算量将会很大。上面先代码实现前向流传：

x = 3  # 例子数值y = -4# 前向流传sigy = 1.0 / (1 + math.exp(-y)) # 分子中的sigmoid         #(1)num = x + sigy # 分子                                    #(2)sigx = 1.0 / (1 + math.exp(-x)) # 分母中的sigmoid         #(3)xpy = x + y                                              #(4)xpysqr = xpy**2                                          #(5)den = sigx + xpysqr # 分母                                #(6)invden = 1.0 / den                                       #(7)f = num * invden


代码创立了多个两头变量，每个都是比较简单的表达式，它们计算部分梯度的办法是已知的。能够给咱们计算反向流传带来很多便当：

  • 咱们对前向流传时产生的每个变量 \( (sigy, num, sigx, xpy, xpysqr, den, invden)\) 进行回传。
  • 咱们用同样数量的变量（以 d 结尾），存储对应变量的梯度。
  • 留神：反向流传的每一小块中都将蕴含了表达式的部分梯度，而后依据应用链式法则乘以上游梯度。对于每行代码，咱们将指明其对应的是前向流传的哪局部，序号对应。
# 回传 f = num * invdendnum = invden # 分子的梯度                                         #(8)dinvden = num # 分母的梯度                                         #(8)# 回传 invden = 1.0 / den dden = (-1.0 / (den**2)) * dinvden                                #(7)# 回传 den = sigx + xpysqrdsigx = (1) * dden                                                #(6)dxpysqr = (1) * dden                                              #(6)# 回传 xpysqr = xpy**2dxpy = (2 * xpy) * dxpysqr                                        #(5)# 回传 xpy = x + ydx = (1) * dxpy                                                   #(4)dy = (1) * dxpy                                                   #(4)# 回传 sigx = 1.0 / (1 + math.exp(-x))dx += ((1 - sigx) * sigx) * dsigx # 留神这里用的是+=，上面有解释    #(3)# 回传 num = x + sigydx += (1) * dnum                                                  #(2)dsigy = (1) * dnum                                                #(2)# 回传 sigy = 1.0 / (1 + math.exp(-y))dy += ((1 - sigy) * sigy) * dsigy


补充解释：

①对前向流传变量进行缓存

  • 在计算反向流传时，前向流传过程中失去的一些两头变量十分有用。
  • 实现过程中，在代码里对这些两头变量进行缓存，这样在反向流传的时候也能用上它们。

②在不同分支的梯度要相加

  • 如果变量 \(x,y\) 在前向流传的表达式中呈现屡次，那么进行反向流传的时候就要十分小心，要应用\(+=\) 而不是 \(=\) 来累计这些变量的梯度。
  • 依据微积分中的多元链式法则，如果变量在线路中走向不同的分支，那么梯度在回传的时候，应该累加 。即：

$$\frac{\partial f}{\partial x} =\sum_{q_i}\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial q_i}{\partial x}$$

7) 理论利用

如果有一个计算图，曾经拆分成门单元的模式，那么主类代码构造如下：

class ComputationalGraph(object):    # ...    def forward(self, inputs):        # 把inputs传递给输出门单元        # 前向流传计算图        # 遍历所有从后向前按顺序排列的门单元        for gate in self.graph.nodes_topologically_sorted():             gate.forward()  # 每个门单元都有一个前向流传函数        return loss  # 最终输入损失    def backward(self):        # 反向遍历门单元        for gate in reversed(self.graph.nodes_topologically_sorted()):             gate.backward()  # 反向流传函数利用链式法则        return inputs_gradients  # 输入梯度        return inputs_gradients  # 输入梯度


门单元类能够这么定义，比方一个乘法单元：

class MultiplyGate(object):    def forward(self, x, y):        z = x*y        self.x = x        self.y = y        return z    def backward(self, dz):        dx = self.y * dz        dy = self.x * dz        return [dx, dy]

1.2 向量模式反向流传

先思考一个简略的例子，比方：


这个 \(max\) 函数对输出向量 \(x\) 的每个元素都和 \(0\) 比拟输入最大值，因而输入向量的维度也是 \(4096\)维。此时的梯度是雅可比矩阵，即输入的每个元素对输出的每个元素求偏导组成的矩阵。

如果输出 \(x\) 是 \(N\) 维的向量，输入 \(y\) 是 \(m\) 维的向量，则 \(y_1,y_2, \cdots,y_m\) 都是 \((x_1-x_n)\) 的函数，失去的雅克比矩阵如下所示：

$$\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{n}} \\\vdots & \ddots & \vdots \\\frac{\partial y_{m}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{n}}\end{array}\right]$$

那么这个例子的雅克比矩阵是 \([4096 \times 4096]\) 维的，输入有 \(4096\) 个元素，每一个都要求 \(4096\) 次偏导。其实仔细观察发现，这个例子输入的每个元素都只和输出相应地位的元素无关，因而失去的是一个对角矩阵。

理论利用的时候，往往 100 个 \(x\) 同时输出，此时雅克比矩阵是一个 \([409600 \times 409600]\) 的对角矩阵，当然只是针对这里的 \(f\) 函数。

实际上，齐全写出并存储雅可比矩阵不太可能，因为维度极其大。

1) 一个例子

指标公式为： \(f(x,W)=\vert \vert W\cdot x \vert \vert ^2=\sum_{i=1}^n (W\cdot x)_{i}^2\)

其中 \(x\) 是 \(N\) 维的向量，\(W\) 是 \(n \times n\) 的矩阵。

设 \(q=W\cdot x\) ,于是失去上面的式子：

$$\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{n}} \\\vdots & \ddots & \vdots \\\frac{\partial y_{m}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{n}}\end{array}\right]$$


$$\begin{array}{l}q=W \cdot x=\left(\begin{array}{c}W_{1,1} x_{1}+\cdots+W_{1, n} x_{n} \\\vdots \\W_{n, 1} x_{1}+\cdots+W_{n, n} x_{n}\end{array}\right) \\\end{array}$$


$$f(q)=\|q\|^{2}=q_{1}^{2}+\cdots+q_{n}^{2}$$


能够看出：

  • \(\frac{\partial f}{\partial q_i}=2q_i\) 从而失去 \(f\) 对 \(q\) 的梯度为 \(2q\) ；
  • \(\frac{\partial q_k}{\partial W_{i, j}}=1{i=k}x_j\)，\(\frac{\partial f}{\partial W_{i, j}}=\sum_{k=1}^n\frac{\partial f}{\partial q_k}\frac{\partial q_k}{\partial W_{i, j}}=\sum_{k=1}^n(2q_k)1{i=k}x_j=2q_ix_j\)，从而失去 \(f\) 对 \(W\) 的梯度为 \(2q\cdot x^T\) ；
  • \(\frac{\partial q_k}{\partial x_i}=W_{k,i}\) ， \(\frac{\partial f}{\partial x_i}=\sum_{k=1}^n\frac{\partial f}{\partial q_k}\frac{\partial q_k}{\partial x_i}=\sum_{k=1}^n(2q_k)W_{k,i}\) ，从而失去 \(f\) 对 \(x\) 的梯度为 \(2W^T\cdot q\)


上面为计算图：


2) 代码实现

import numpy as np# 初值W = np.array([[0.1, 0.5], [-0.3, 0.8]])x = np.array([0.2, 0.4]).reshape((2, 1))  # 为了保障dq.dot(x.T)是一个矩阵而不是实数# 前向流传q = W.dot(x)f = np.sum(np.square(q), axis=0)# 反向流传# 回传 f = np.sum(np.square(q), axis=0)dq = 2*q# 回传 q = W.dot(x)dW = dq.dot(x.T)  # x.T就是对矩阵x进行转置dx = W.T.dot(dq)


留神：要剖析维度！不要去记忆 \(dW\) 和 \(dx\) 的表达式，因为它们很容易通过维度推导进去。

权重的梯度 \(dW\) 的尺寸必定和权重矩阵 \(W\) 的尺寸是一样的

  • 这里的 \(f\) 输入是一个实数，所以 \(dW\)和 \(W\) 的形态统一。
  • 如果思考 \(dq/dW\) 的话，如果依照雅克比矩阵的定义，\(dq/dw\) 应该是 \(2 \times 2 \times 2\) 维，为了减小计算量，就令其等于 \(x\)。
  • 其实齐全不必思考那么简单，因为最终的损失函数肯定是一个实数，所以每个门单元的输出梯度肯定和原输出形态雷同。 对于这点的阐明，能够 点击这里，官网进行了具体的推导。
  • 而这又是由 \(x\) 和 \(dq\) 的矩阵乘法决定的，总有一个形式是可能让维度之间可能对的上的。

例如，\(x\) 的尺寸是 \([2 \times 1]\)，\(dq\) 的尺寸是 \([2 \times 1]\)，如果你想要 \(dW\) 和 \(W\) 的尺寸是 \([2 \times 2]\)，那就要 dq.dot(x.T)，如果是 x.T.dot(dq) 后果就不对了。（\(dq\) 是回传梯度不能转置！）

2.神经网络简介

2.1 神经网络算法介绍

在不诉诸大脑的类比的状况下，仍然是能够对神经网络算法进行介绍的。

在线性分类一节中，在给出图像的状况下，是应用 \(Wx\) 来计算不同视觉类别的评分，其中 \(W\) 是一个矩阵，\(x\) 是一个输出列向量，它蕴含了图像的全副像素数据。在应用数据库 CIFAR-10 的案例中，\(x\) 是一个 \([3072 \times 1]\) 的列向量，\(W\) 是一个 \([10 \times 3072]\) 的矩阵，所以输入的评分是一个蕴含10个分类评分的向量。

一个两层的神经网络算法则不同，它的计算公式是 \(s = W_2 \max(0, W_1 x)\) 。


\(W_1\) 的含意：举例来说，它能够是一个 \([100 \times 3072]\) 的矩阵，其作用是将图像转化为一个100维的过渡向量，比方马的图片有头朝左和朝右，会别离失去一个分数。

函数 \(max(0,-)\) 是非线性的，它会作用到每个元素。这个非线性函数有多种抉择，大家在后续激活函数里会再看到。当初看到的这个函数是最罕用的ReLU激活函数，它将所有小于 \(0\) 的值变成 \(0\)。

矩阵 \(W_2\) 的尺寸是 \([10 \times 100]\)，会对中间层的得分进行加权求和，因而将失去 10 个数字，这10个数字能够解释为是分类的评分。

留神：非线性函数在计算上是至关重要的，如果略去这一步，那么两个矩阵将会合二为一，对于分类的评分计算将从新变成对于输出的线性函数。这个非线性函数就是扭转的关键点。

参数 \(W_1\) ,\(W_2\) 将通过随机梯度降落来学习到，他们的梯度在反向流传过程中，通过链式法则来求导计算得出。

一个三层的神经网络能够类比地看做 \(s = W_3 \max(0, W_2 \max(0, W_1 x))\) ，其中\(W_1\), \(W_2\) ,\(W_3\) 是须要进行学习的参数。两头隐层的尺寸是网络的超参数，后续将学习如何设置它们。当初让咱们先从神经元或者网络的角度了解上述计算。


两层神经网络参考代码实现如下，中间层应用 sigmoid 函数：

import numpy as npfrom numpy.random import randnN, D_in, H, D_out = 64, 1000, 100, 10# x 是64x1000的矩阵，y是64x10的矩阵x, y = randn(N, D_in), randn(N, D_out)# w1是1000x100的矩阵，w2是100x10的矩阵w1, w2 = randn(D_in, H), randn(H, D_out)# 迭代10000次，损失达到0.0001级for t in range(10000):    h = 1 / (1 + np.exp(-x.dot(w1)))  # 激活函数应用sigmoid函数，中间层    y_pred = h.dot(w2)    loss = np.square(y_pred - y).sum()  # 损失应用 L2 范数    print(str(t)+': '+str(loss))    # 反向流传    grad_y_pred = 2.0 * (y_pred - y)    grad_w2 = h.T.dot(grad_y_pred)    grad_h = grad_y_pred.dot(w2.T)    # grad_xw1 = grad_h*h*(1-h)    grad_w1 = x.T.dot(grad_h*h*(1-h))    # 学习率是0.0001    w1 -= 1e-4 * grad_w1    w2 -= 1e-4 * grad_w2

2.2 神经网络与实在的神经比照

神经网络算法很多时候是受生物神经系统启发而简化模仿失去的。

大脑的根本计算单位是神经元（neuron） 。人类的神经系统中大概有 860 亿个神经元，它们被大概 1014 - 1015 个突触（synapses） 连接起来。下图的上方是一个生物学的神经元，下方是一个简化的罕用数学模型。每个神经元都从它的树突（dendrites） 取得输出信号，而后沿着它惟一的轴突（axon） 产生输入信号。轴突在末端会逐步分枝，通过突触和其余神经元的树突相连。


在神经元的计算模型中，沿着轴突流传的信号（比方 \(x_0\) ）将基于突触的突触强度（比方 \(w_0\) ），与其余神经元的树突进行乘法交互（比方 \(w_0 x_0\) ）。

对应的想法是，突触的强度（也就是权重 \(W\) ），是可学习的且能够管制一个神经元对于另一个神经元的影响强度（还能够管制影响方向：使其兴奋（正权重）或使其克制（负权重））。

树突将信号传递到细胞体，信号在细胞体中相加。如果最终之和高于某个阈值，那么神经元将会「激活」，向其轴突输入一个峰值信号。

在计算模型中，咱们假如峰值信号的精确工夫点不重要，是激活信号的频率在交流信息。基于这个速率编码的观点，将神经元的激活率建模为激活函数（activation function） \(f\) ，它表白了轴突上激活信号的频率。

因为历史起因，激活函数经常抉择应用sigmoid函数 \(\sigma\) ，该函数输出实数值（求和后的信号强度），而后将输出值压缩到 \(0\sim 1\) 之间。在本节前面局部会看到这些激活函数的各种细节。


这里的激活函数 \(f\) 采纳的是 sigmoid 函数，代码如下：

class Neuron:    # ...    def neuron_tick(self, inputs):        # 假如输出和权重都是1xD的向量，偏差是一个数字        cell_body_sum = np.sum(inputs*self.weights) + self.bias        # 当和远大于0时，输入为1，被激活        firing_rate = 1.0 / (1.0 + np.exp(-cell_body_sum))        return firing_rate

2.3 罕用的激活函数

3.神经网络构造

对于神经网络构造的常识也能够参考ShowMeAI的 深度学习教程 | 吴恩达专项课程 · 全套笔记解读 中的文章 神经网络根底、浅层神经网络、深层神经网络 里对于不同深度的网络结构的解说

对于一般神经网络，最一般的层级构造是全连贯层（fully-connected layer） 。全连贯层中的神经元与其前后两层的神经元是齐全成对连贯的，然而在同层外部的神经元之间没有连贯。网络结构中没有循环（因为这样会导致前向流传的有限循环）。

上面是两个神经网络的图例，都应用的全连贯层：


  • 右边：一个2层神经网络，隐层由4个神经元（也可称为单元（unit））组成，输入层由2个神经元组成，输出层是3个神经元（指的是输出图片的维度而不是图片的数量）。
  • 左边：一个3层神经网络，两个含4个神经元的隐层。

留神：当咱们说 \(N\) 层神经网络的时候，咱们并不计入输出层。单层的神经网络就是没有隐层的（输出间接映射到输入）。也会应用人工神经网络（Artificial Neural Networks 缩写ANN）或者多层感知器（Multi-Layer Perceptrons 缩写MLP）来指代全连贯层构建的这种神经网络。此外，输入层的神经元个别不含激活函数。


用来度量神经网络的尺寸的规范次要有两个：一个是神经元的个数，另一个是参数的个数。用下面图示的两个网络举例：

  • 第一个网络有 \(4+2=6\) 个神经元（输出层不算），\([3 \times 4]+[4 \times 2]=20\) 个权重，还有\(4+2=6\) 个偏置，共 \(26\) 个可学习的参数。
  • 第二个网络有 \(4+4+1=9\) 个神经元，\([3 \times 4]+[4 \times 4]+[4 \times 1]=32\) 个权重，\(4+4+1=9\) 个偏置，共 \(41\) 个可学习的参数。

古代卷积神经网络能蕴含上亿个参数，可由几十上百层形成（这就是深度学习）。

3.1 三层神经网络代码示例

一直用类似的构造重叠造成网络，这让神经网络算法应用矩阵向量操作变得简略和高效。咱们回到下面那个3层神经网络，输出是 \([3 \times 1]\) 的向量。一个层所有连贯的权重能够存在一个独自的矩阵中。

比方第一个隐层的权重 \(W_1\) 是 \([4 \times 3]\)，所有单元的偏置贮存在 \(b_1\) 中，尺寸 \([4 \times 1]\)。这样，每个神经元的权重都在 \(W_1\) 的一个行中，于是矩阵乘法 np.dot(W1, x)+b1 就能作为该层中所有神经元激活函数的输出数据。相似的，\(W_2\) 将会是 \([4 \times 4]\) 矩阵，存储着第二个隐层的连贯，\(W_3\) 是 \([1 \times 4]\) 的矩阵，用于输入层。

残缺的3层神经网络的前向流传就是简略的3次矩阵乘法，其中交织着激活函数的利用。


import numpy as np# 三层神经网络的前向流传# 激活函数f = lambda x: 1.0/(1.0 + np.exp(-x))# 随机输出向量3x1x = np.random.randn(3, 1)# 设置权重和偏差W1, W2, W3 = np.random.randn(4, 3), np.random.randn(4, 4), np.random.randn(1, 4),b1, b2= np.random.randn(4, 1), np.random.randn(4, 1)b3 = 1# 计算第一个暗藏层激活 4x1h1 = f(np.dot(W1, x) + b1)# 计算第二个暗藏层激活 4x1h2 = f(np.dot(W2, h1) + b2)# 输入是一个数out = np.dot(W3, h2) + b3


在下面的代码中，\(W_1\)，\(W_2\)，\(W_3\)，\(b_1\)，\(b_2\)，\(b_3\) 都是网络中能够学习的参数。留神 \(x\) 并不是一个独自的列向量，而能够是一个批量的训练数据（其中每个输出样本将会是 \(x\) 中的一列），所有的样本将会被并行化的高效计算出来。

留神神经网络最初一层通常是没有激活函数的（例如，在分类工作中它给出一个实数值的分类评分）。

全连贯层的前向流传个别就是先进行一个矩阵乘法，而后加上偏置并使用激活函数。

3.2 了解神经网络

对于深度神经网络的解释也能够参考ShowMeAI的 深度学习教程 | 吴恩达专项课程 · 全套笔记解读 中的文章 深层神经网络 里「深度网络其余劣势」局部的解说

全连贯层的神经网络的一种了解是：

  • 它们定义了一个由一系列函数组成的函数族，网络的权重就是每个函数的参数。

领有至多一个隐层的神经网络是一个通用的近似器，神经网络能够近似任何连续函数。

尽管一个2层网络在数学实践上能完满地近似所有连续函数，但在实际操作中成果绝对较差。尽管在实践上深层网络（应用了多个隐层）和单层网络的表达能力是一样的，然而就实践经验而言，深度网络成果比单层网络好。


对于全连贯神经网络而言，在实践中3层的神经网络会比2层的体现好，然而持续加深（做到4，5，6层）很少有太大帮忙。卷积神经网络的状况却不同，在卷积神经网络中，对于一个良好的识别系统来说，深度是一个十分重要的因素（比方当今成果好的CNN都有几十上百层）。对于该景象的一种解释观点是：因为图像领有层次化构造（比方脸是由眼睛等组成，眼睛又是由边缘组成），所以多层解决对于这种数据就有直观意义。

4.拓展学习

能够点击 B站 查看视频的【双语字幕】版本

  • 【课程学习指南】斯坦福CS231n | 深度学习与计算机视觉
  • 【字幕+材料下载】斯坦福CS231n | 深度学习与计算机视觉 (2017·全16讲)
  • 【CS231n进阶课】密歇根EECS498 | 深度学习与计算机视觉
  • 【深度学习教程】吴恩达专项课程 · 全套笔记解读
  • 【Stanford官网】CS231n: Deep Learning for Computer Vision

5.要点总结

  • 前向流传与反向流传
  • 标量与向量化模式计算
  • 求导链式法则利用
  • 神经网络构造
  • 激活函数
  • 了解神经网络

斯坦福 CS231n 全套解读

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  • 深度学习与CV教程(2) | 图像分类与机器学习根底
  • 深度学习与CV教程(3) | 损失函数与最优化
  • 深度学习与CV教程(4) | 神经网络与反向流传
  • 深度学习与CV教程(5) | 卷积神经网络
  • 深度学习与CV教程(6) | 神经网络训练技巧 (上)
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