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在本笔记本中，咱们向读者介绍了根本的随机稳定率模型，并通过间断程序重要性重采样探讨了它们的预计。咱们应用收益率数据集来探讨 CSIR 在随机稳定率模型预计中的实现和性能。

第一个随机稳定率模型

令 yt 为工夫 t 的股票收益，t 为其标准差。思考以下离散工夫随机稳定率模型：

zt∼N(0,1) 和 t∼N(0,2) ，

>0 和 |1|<1 以确保稳定率遵循安稳过程。直观地说，稳定过程被建模为一个潜在过程，其中 log(2t) 遵循 AR(1) 过程。在下一个块中，咱们模仿了这个过程。在笔记本上，咱们将持续解决这些模仿数据。为简洁起见，咱们定义 t=log(2t) 和 =(0,1,) 为参数向量。

## ＃＃咱们模仿数据。##咱们设定pi_0 = 0.05, pi = 0.98, tau = 0.02##模仿数据的函数#Input 2: T - 工夫序列的大小#Ouput: retF - 模仿的收益率（y）和稳定率（alpha）。    pi <- thta\[2\] # 自相关系数 phi    tu2 <- heta\[3\] # 具备tau2方差的失常误差      eta <- rorm(T, 0, sqrt(tau2)) # AR(1)稳定率模型的误差    z <- rnrm(T, 0, 1) # 倍增项回报模型    alha\[1\] <- cost # 在开始阶段没有自相干的察看值# 仿真工夫序列smdf <- s_sm(theta, T)y <- smdf$ylpa <- smdf$apha

隐马尔可夫模型：定义

下面显示的模型属于更个别的隐马尔可夫模型类。设 h(t|t-1;) 为跃迁密度，g(yt|t;) 为测量密度。那么在这种状况下，跃迁密度和测量密度都是高斯的，其中  和 .

序列蒙特卡罗

对于预计，咱们应用序列蒙特卡罗，通过生成 P 随机抽取，称为“粒子”，以近似预测和过滤密度。尽管有很多变体，但咱们只探讨（间断）序列重要性重采样（SIR）。

SIR有两个步骤，预测和过滤步骤。

预测步骤 如下： 

  • 输出：粒子 从 ;
  • 输入：对于每个粒子  利用跃迁密度对系统进行流传，失去一个新的预测粒子，即 

具备间断序列重要性重采样的过滤步骤：算法

间断序列重要性重采样(CSIR) 是 SIR 的一种变体，它提供了过滤粒子的间断版本。该办法的次要长处是它确保模仿似然绝对于参数  的向量是“平滑的”，以便可能应用基于梯度的优化办法进行优化。

应用 CSIR 的过滤步骤的算法如下：

  • 输出：
  • 具备条目 u(j) 的排序平均随机采样向量（回绝采样）；
  • 对于定义为 W(i)t 的每个粒子 (i)t 在 yt 处评估的正态 PDF；
  • 从预测密度 (i)t 中排序。

代码

上面咱们生成粒子集，并应用 SIR 近似过滤和预测密度。在第一个图中，咱们显示了预测密度平均值及其 95 和 5 分位数。在同一个图中，咱们还绘制了稳定率的实在值。在第二个图中，咱们绘制了过滤密度的热图。黑线是真正的稳定率。

# --> （原始）序列重要性取样算法：过滤步骤# 输出 1: appr - 预测密度# 输出 2: aha_t - 在 y\[t\]评估的正态 pdf# 输出 3: u - 排序平均的随机采样向量(回绝采样)# 输入：alphp - 粒子过滤    # 排序和加权的速度减慢    alhawt <- alph\_wt/sum(alpha\_wt)    alpa\_rt <- cbind(seq(1,P,1),alpha\_pr)    alhapr\_id <- lpha\_sort\[order(alha_r\[,2\]),\]。    alhapr <- alpha_ridx\[,2\]    alph\_ix <- alha\_p_idx\[,1\]     alha\_wt <- alp\_w\[alpha_idx\]    alhacwt <- c(0, cumsum(alpha_wt))    j <- 1    for (i in 1:P)        while((aphawt\[i\] < u\[j\]) && (u\[j\] <= alpawt\[i+1\])){            lp\_up\[j\] <- alpa\_r\[i\] 。}# ----------------------------------------------------------------------# 设置粒子过滤# ----------------------------------------------------------------------P <- 200 # 设置粒子的数量lph_up <- rnorm(P,0,0.1)alpar <- rep(0,P)aha_w <- rep(1,P)/Palphup_mt <- matrix(rep(0,T*3),T)ala_pmat <- matrix(rep(0, T*3),T)ah_prare <- matrix(rep(0, T*20),T)# 从一个近似值中生成一个由P个随机抽样组成的粒子集# 每个工夫序列点的预测和过滤散布的近似值for (t in 1:T){    # 预测步骤    appr <- nst + phi * alpp + rnorm(P,0,srt(tau2))    # 更新/过滤步骤(态密度)    ahat <- dnorm(y\[t\]*rep1,P), mean=0 , sd = exp(phar/2)    alpap <- sir(alhapr=aph\_r,alhawt=alpa\_t, u=sort(runif(P,0,1))# 绘制预测密度图plot(sqrt(252) * exp(alpha/2), type='l')## 筛选密度热图    het <- matrix(rep(1,T*20), T, 20)plot(NULL, xlim = c(1, T), ylim = c(0, 160), main="过滤密度热图",

在下一部分中，咱们提供了 CSIR 的 R 和 C 版本。R 版本仅出于代码可读性的目标而提供。

###间断序列重要性重取样：过滤步骤# 输出 1: alppr - 预测密度# 输出 2: alhawt - 在 y\[t\]处评估的正态 pdf# 输出 3: u - 排序平均的随机采样向量(回绝采样)# 输入：ala_up - 粒子过滤（间断版本）。# R版本(性能较慢)cir <- function(aph_r, phwt, u) {    P <- length(aphpr)    al_p <- rep(0,P)        # 排序和加权的速度减慢    alpha\_wt <- alpha\_wt/sum(alpha_wt)      j <- 1    for (i in 1:P){        while((a_ct\[i\] < u\[j\]) & (u\[j\] <= alhwt\[i+1\])){            alh\_u\[j\] <- aph\_pr\[i\] + ((apapr\[i+1\]-alar\[i\])/(ala\_ct\[i+1\]-alpha\_cwt\[i\]) * (u\[j\]-ala_wt\[i\])         }csir.c <- function(alppr, aht, u) {    P <- length(alpap)    ala_u <- rep(0,P)     .C("cir", alpup=as.dole(aphup),                           alha\_pr=as.double(aha\_r),                           alh_wt=as.doublephawt),                           u=as.double(u),

咱们当初提供用于最大化对数似然和预计参数 的代码。为了计算标准误差，咱们应用在 MLE 评估的对数似然的 Hessian 矩阵的逆矩阵的对角线。

咱们当初能够转到参数 的预计。应用 C 中的函数进行预计。

vas <- sfit(y, c(0.5,0.5,0.5), P, 1)
## 显示后果matrix <- cbind(heta_mle,eta_se)矩阵

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