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为了不便起见，这些模型通常简称为TAR模型。这些模型捕捉了线性工夫序列模型无奈捕捉的行为，例如周期，幅度相干的频率和跳跃景象。Tong和Lim（1980）应用阈值模型表明，该模型可能发现黑子数据呈现的不对称周期性行为。

一阶TAR模型的示例：

是噪声标准偏差，Yt-1是阈值变量，r是阈值参数， {et}是具备零均值和单位方差的iid随机变量序列。

每个线性子模型都称为一个机制。下面是两个机制的模型。

思考以下简略的一阶TAR模型：

#低机制参数i1 = 0.3p1 = 0.5s1 = 1#高机制参数i2 = -0.2p2 = -1.8s2 = 1thresh = -1delay = 1#模仿数据y=sim(n=100,Phi1=c(i1,p1),Phi2=c(i2,p2),p=1,d=delay,sigma1=s1,thd=thresh,sigma2=s2)$y#绘制数据plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t',ylab=expression(Y\[t\])abline(thresh,0,col="red")

 TAR模型_框架_是原始TAR模型的批改版本。它是通过克制噪声项和截距并将阈值设置为0来取得的：

_框架_的稳定性以及某些规律性条件意味着TAR的平稳性。稳定性能够了解为，对于任何初始值Y1，_框架_都是有界过程。

在[164]中：

#应用不同的终点查看稳定性startvals = c(-2, -1.1,-0.5, 0.8, 1.2, 3.4)count = 1for (s in startvals) {    ysk\[1        } else {            ysk\[i\] = -1.8*ysk\[i-1\]        }        count = count + 1}#绘制不同实现matplot(t(x),type="l"abline(0,0)

Chan和Tong（1985）证实，如果满足以下条件，则一阶TAR模型是安稳的

个别的两机制模型写为：

在这种状况下，稳定性更加简单。然而，Chan and Tong（1985）证实，如果

模型预计

一种办法以及此处探讨的办法是条件最小二乘（CLS）办法。

为简略起见，除了假如p1 = p2 = p，1≤d≤p，还假如1=2=。而后能够将TAR模型不便地写为

如果Yt-d> r，则I（Yt-d> r）= 1，否则为0。CLS最小化条件残差平方和：

在这种状况下，能够依据是否Yt-d≤r将数据分为两局部，而后执行OLS预计每个线性子模型的参数。

如果r未知。

在r值范畴内进行搜寻，该值必须在工夫序列的最小值和最大值之间，以确保该序列实际上超过阈值。而后从搜寻中排除最高和最低10％的值

  1. 在此受限频带内，针对不同的r = yt值估算TAR模型。
  2. 抉择r的值，使对应的回归模型的残差平方和最小。
#找到分位数lq = quantile(y,0.10)uq = quantile(y,0.90)#绘制数据plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t'abline(lq,0,col="blue")abline(uq,0,col="blue")

#模型估计数sum( (lq <= y ) & (y <= uq) )

80

如果d未知。

令d取值为1,2,3，...，p。为每个d的潜在值估算TAR模型，而后抉择残差平方和最小的模型。

Chan（1993）已证实，CLS办法是统一的。

最小AIC（MAIC）办法

因为在实践中这两种状况的AR阶数是未知的，因而须要一种容许对它们进行预计的办法。对于TAR模型，对于固定的r和d，AIC变为

而后，通过最小化AIC对象来预计参数，以便在某个工夫距离内搜寻阈值参数，以使任何计划都有足够的数据进行预计。

#估算模型#如果晓得阈值#如果阈值尚不分明#MAIC 办法for (d in 1:3) {    if (model.tar.s$AIC < AIC.best) {        AIC.best = model.tar.s$AIC        model.best$d = d        model.best$p1 = model.tar.sar.s$AIC, signif(model.tar.s$thd,4)AICM

非线性测试

1.应用滞后回归图进行目测。

绘制Yt与其滞后。拟合的回归曲线不是很直，可能表明存在非线性关系。

在[168]中：

lagplot(y)

 

2.Keenan测验：

思考以下由二阶Volterra开展引起的模型：

其中{t} 的iid正态分布为零均值和无限方差。如果=0，则该模型成为AR（mm）模型。

能够证实，_Keenan_测验等同于回归模型中测验=0：

其中Yt ^ 是从Yt-1，...，Yt-m上的Yt回归失去的拟合值。

3. Tsay测验：

_Keenan_测试的一种更通用的代替办法。用更简单的表达式替换为Keenan测验给出的上述模型中的项（∑mj = 1jYt-j）2。最初对所有非线性项是否均为零的二次回归模型执行F测验。

在[169]中：

#查看非线性: Keenan, Tsay#Null is an AR model of order 1Keenan.test(y,1)
$test.stat90.2589565661567$p.value1.76111433596097e-15$order1

在[170]中：

Tsay.test(y,1)
$test.stat71.34$p.value3.201e-13$order1

4.测验阈值非线性

这是基于似然比的测试。

零假如是AR（pp）模型；另一种假如是具备恒定噪声方差的p阶的两区域TAR模型，即1=2=。应用这些假如，能够将通用模型重写为

零假如表明2,0 = 2,1 = ... = 2，p = 0。

似然比测验统计量能够证实等于

其中n-p是无效样本大小，^ 2（H0）是线性AR（p）拟合的噪声方差的MLE，而^ 2（H1）来自TAR的噪声方差与在某个无限距离内搜寻到的阈值的MLE。

H0下似然比测验的采样散布具备非标准采样散布；参见Chan（1991）和Tong（1990）。

在[171]中：

res = tlrt(y, p=1, d=1, a=0.15, b=0.85)res
$percentiles14.185.9$test.statistic: 142.291963130459$p.value: 0

模型诊断

应用残差剖析实现模型诊断。TAR模型的残差定义为

标准化残差是通过适当的标准偏差标准化的原始残差：

如果TAR模型是真正的数据机制，则标准化残差图应看起来是随机的。能够通过查看标准化残差的样本ACF来查看标准化误差的独立性假如。

#模型诊断diag(model.tar.best, gof.lag=20)

预测

预测散布通常是非正态的。通常，采纳模仿办法进行预测。思考模型

而后给定Yt = yt，Yt-1 = yt-1，...

因而，能够通过从误差散布中绘制et + 1并计算h（yt，et + 1），来取得单步预测散布的Yt + 1的实现。 。

通过独立反复此过程 B 次，您能够 从向前一步预测散布中随机取得B值样本 。

能够通过这些B 值的样本平均值来预计提前一步的预测平均值 。

通过迭代，能够轻松地将仿真办法扩大为找到任何l步提前预测散布：

其中Yt = yt和et + 1，et + 2，...，et + l是从误差散布得出的ll值的随机样本。

在[173]中：

#预测model.tar.pred r.best, n.ahead = 10, n.sim=1000)y.pred = ts(clines(ts(model.tar.pred$pred.interval\[2,\], start=end(y) + c(0,1), freq=1), lty=2)lines(ts(model

样例

这里模仿的工夫序列是1700年至1988年太阳黑子的年数量。

在[174]中：

#数据集#太阳黑子序列，每年plot.ts(sunsp

#通过滞后回归图查看非线性lagplot(sunspo)

#应用假设检验查看线性Keenan.test(sunspot.year)Tsay.test(sunspot.year)
$test.stat18.2840758932705$p.value2.64565849317573e-05$order9$test.stat3.904$p.value6.689e-12$order9

在[177]中：

#应用MAIC办法AIC{    sunspot.tar.s = tar(sunspot.year, p1 = 9, p2 = 9, d = d, a=0.15, b=0.85)    AICM

在[178]中：

#测试阈值非线性tl(sunspot.year, p=9, d=9, a=0.15, b=0.85)
$percentiles1585$test.statistic: 52.2571950943405$p.value: 6.8337179274236e-06
#模型诊断tsdiag(sunspot.tar.best)

#预测sunspot.tar.pred <- predict(sunspot.tar.best, n.ahead = 10, n.sim=1000)lines(ts(sunspot.tar.pred$pretart=e

#拟合线性AR模型#pacf(sunspot.year)#尝试AR阶数9ord = 9ar.mod <- arima(sunspot.year, order=c(ord,0,0), method="CSS-ML")plot.ts(sunspot.year\[10:289\]

模仿TAR模型上的AR性能

_示例1._ 将AR（4）拟合到TAR模型

set.seed(12349)#低机制参数i1 = 0.3p1 = 0.5s1 = 1#高机制参数i2 = -0.2p2 = -1.8s2 = 1thresh = -1delay = 1nobs = 200#模仿200个样本y=sim(n=nobs,Phi1=c(i1,p1),Phi$y#应用Tsay的测验确定最佳AR阶数ord <- Tsay.test(y)$order#线性AR模型#pacf(sunspot.year)#try AR order 4

_例子2._ 将AR（4）拟合到TAR模型

_例子3._ 将AR（3）拟合到TAR模型

_例子3._ 将AR（7）拟合到TAR模型

参考文献

恩惠斯（W. Enders），2010年。利用计量经济学工夫序列

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