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极值实践对样本尾部散布的极值指数的预计办法次要有两类：半参数办法和全 参数办法，前者次要是基于散布尾部的 Hill 估计量，后者则次要基于狭义帕累托散布。
尾部指数的希尔HILL统计量预计。更具体地说，咱们看到如果 ， 和 ，而后希尔HILL预计为
。 而后 在某种意义上满足某种一致性 ,如果 ，即 （在收敛速度的附加假如下， ）。此外，在附加的技术条件下
为了阐明这一点，请思考以下代码。首先，让咱们思考一个帕累托生存函数，以及相干的分位数函数
> Q=fuction(p){unro(funion(x) S(x)-(1-p),loer=1,per=1e+9)$root}咱们将思考更简单的生存函数。这是生存函数和分位数函数，
> plot(u,Veie(Q)(u),type="l")在这里，咱们须要 分位数函数从这个散布中生成一个随机样本，
> X=Vectorize(Q)(runif(n))hill统计量在这里
> abline(h=alpha)咱们当初能够生成数千个随机样本，并查看这些预计器（对于某些特定的 的）。
> for(s in 1:ns){+ X=Vectorize+ H=hill+ hilk=function(k) + HilK\[s,\]=Vectorize+ }如果咱们计算平均值，
> plot(15*(1:10),apply(2,mean)咱们失去了一系列能够被认为是无偏的估计量。
当初，回忆一下，处于 Fréchet 散布并不意味着 ， 和 , 但意味着
对于一些迟缓变动的函数 ，不肯定恒定！为了理解可能产生的状况，咱们必须略微具体一些。这只能通过查看生存函数的性质。假如，这里有一些辅助函数
这个（正）常数 以某种形式与生存函数与幂函数之比的收敛速度无关。
更具体地说，假如
而后，应用取得二阶正则变动性质 ，而后，如果 趋向于无穷大太快，那么预计就会有偏差。 如果 ，那么，对于一些 ,
这个后果的直观解释是，如果 太大，并且如果根底散布不_齐全_ 是帕累托散布，那么希尔估计量是有偏的。这就是咱们所说的意思
- 如果 太大， 是有偏估计量
- 如果 太小， 是一个不稳固的估计量
（后者来自样本均值的属性：察看越多，均值的波动性越小）。
让咱们运行一些模仿以更好地理解正在产生的事件。应用后面的代码，生成具备生存函数的随机样本实际上是极其简略的
> Q=function(p){uniroot(function(x) S(x)-(1-p)}如果咱们应用下面的代码。
希尔hill变成
> abline(h=alpha)但它仅基于一个样本。再次思考数千个样本，让咱们看看 Hill 统计量如何，
所以这些估计量的（教训）平均值是
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