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在多变量稳定率预测中，咱们有时会看到对多数主成分驱动的协方差矩阵建模，而不是残缺的股票。应用这种因子稳定率模型的劣势是很多的。
首先，你不须要对每个股票独自建模，你能够解决流动性相当弱的股票。第二，因子稳定率模型在计算成本低。第三，与指数加权模型相比，持久性参数（通常示意为）不用在所有股票上都是一样的。你能够为每个因子指定一个不同的过程，这样协方差矩阵过程就会有更丰盛的动态变化。
但这里没有收费的午餐，代价是信息的损失。它是将协方差矩阵中的信息稀释为少数几个因子的代价。这意味着因子稳定率模型最适宜于理论显示因子构造的数据。因子稳定率模型并不是具备弱的截面依赖性的数据的最佳抉择。在因子化的过程中会失落太多的信息。
这篇文章，咱们让主成分遵循 GARCH 过程。代数相当简略。
(1)
(2)
是一个对角矩阵，维数为选定的因子数。将此矩阵设置为对角线意味着主成分之间的协方差为零（所有非对角线元素都为零）。因而它们是正交的。当然，通过结构，主成分只是无条件正交的，但咱们增加了束缚\假如它们在每个工夫点也是正交的。这确保 是一个无效的协方差矩阵。
的对角线 填充了因子的方差。这里咱们应用阈值-GARCH 模型。
让咱们实际。咱们应用股票数据。前两个追踪短期和长期的债券收益，后两个追踪股票指数。每日收益矩阵 ret。
上面的代码分为两局部。首先，咱们基于单个因子的阈值 GARCH 模型构建了咱们本人的双因子正交 GARCH 模型。有几种不同的办法来预计参数（非线性最小二乘法、最大似然法和矩量法）。
#--------------# 第一局部，本人的双因子正交 GARCH 模型#--------------------library(rugarch) # 单变量GARCH模型# 我应用1000个察看的初始窗口，每减少一个工夫点就从新预计模型的参数wd <- 1000 #初始窗口k <- 2 #因素的数量Uvofit <- matrix # 用一个矩阵来保留三种资产的稳定率for(i in wd:T){pc1 <- promp # 主成分合成for (j in 1:k){ # 对于每个因素，这里有雷同的Garch过程（但能够是不同的）。gjel = ugarchfit}# 不应用内置的 prcomp 函数取得 w。w <- matrix(eivales, nrow = l, ncol = k, byrow = F) * (eigos)# 存储每个工夫点上的协方差矩阵。for(i in 1:TT){# 这是Gamma D_t gamma'。otch\[i,,\] <- w %*% as.matrix) %*% t(w)}# 第二局部。应用狭义正交GARCH（GO-GARCH）模型#--------------garchestby = "mm"summary# 让咱们从这个模型中取得协方差mH <- arrayfor(i in 1:TT){yH\[i,,\] <- faf@H\[\[i\]\] 。}# 绘制这两张图。因为咱们用1000作为初始窗口，所以只画最近的察看值# 扭转k来示意最近的观测值。k <- TT - wdteme <- tail(time,k) # 定义工夫# 用来绘制相干图的函数plot(teimeablinelines(tetime# 让咱们来看看所产生的相干关系。
咱们看到的是对应于 6 个相干序列（SPY 与 TLT、SPY 与 QQQ 等）。咱们本人的预计模型和应用包构建的模型之间简直没有区别。但咱们本人的只应用了 2 个因子，一个差分 GARCH 模型，预计的是窗口而不是整个样本，以及不同的预计办法。我狐疑实在的相关性是否像底部面板中预计的那样稳固。
* 咱们在这里混合了代数、概率和几何的术语。正交是一个来自几何学的术语，它是指两个向量之间的角度。如果它们是垂直的，就被称为正交。 代数上，如果它们的内积会产生这种状况 为零。在概率上，回到协方差矩阵，COV(x,y)=E(XY)-E(X)E(Y)，但因为因子的平均值为零。COV(x,y)=E(XY)。所以E(XY)=0意味着因子是正交的。实质上，正交性意味着线性独立。
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