本文篇幅较长，倡议认真急躁看完，置信会有极大的播种。
一、最具启发性的汉诺塔问题
1、汉诺塔问题形容
有三根杆子A，B，C。A杆上有 N 个 (N>1) 穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上顺次变小。要求按下列规定将所有圆盘移至 C 杆：每次只能挪动一个圆盘；大盘不能叠在小盘下面。
问：起码要挪动多少次？并打印每次挪动的状况。
2、从最后开始
咱们的指标是将1、2、3圆盘从左杆移到右杆上
能够拆解为以下三步
1）（大步）将1、2圆盘从左移到中杆上
2）将3圆盘从左移到右杆上
3）（大步）将1、2圆盘从中移到右杆上
代码如下：
/** * @author Java和算法学习：周一 */public static void leftToRight(int n) { if (n == 1) { // base case System.out.println("Move 1 from left to right"); return; } // 1、1到n-1个圆盘从左到中 leftToMid(n - 1); // 2、从左到右 System.out.println("Move " + n + " from left to right"); // 3、1到n-1个圆盘从中到右 midToRight(n - 1);}整个左到右办法，你会发现第一大步依赖左到中子办法，第三大步依赖中到右子办法，而后你去补起左到中办法、中到右办法；此时又会发现左到中依赖左到右、右到中办法，中到右依赖中到左、左到右办法……
/** * @author Java和算法学习：周一 */private static void leftToMid(int n) { if (n == 1) { System.out.println("Move 1 from left to mid"); return; } leftToRight(n - 1); System.out.println("Move " + n + " from left to mid"); rightToMid(n - 1);}private static void midToRight(int n) { if (n == 1) { System.out.println("Move 1 from mid to right"); return; } midToLeft(n - 1); System.out.println("Move " + n + " from mid to right"); leftToRight(n - 1);}private static void rightToMid(int n) { if (n == 1) { System.out.println("Move 1 from right to mid"); return; } rightToLeft(n - 1); System.out.println("Move " + n + " from right to mid"); leftToMid(n - 1);}private static void midToLeft(int n) { if (n == 1) { System.out.println("Move 1 from mid to left"); return; } midToRight(n - 1); System.out.println("Move " + n + " from mid to left"); rightToLeft(n - 1);}private static void rightToLeft(int n) { if (n == 1) { System.out.println("Move 1 from right to left"); return; } rightToMid(n - 1); System.out.println("Move " + n + " from right to left"); midToLeft(n - 1);}最初你会发现左到中、左到右、中到左、中到右、右到左、右到中这6个办法相互依赖实现了汉诺塔问题。
是不是有点神奇，递归有时候是有点玄学，然而只有把子过程想明确，base case写对，就跑进去了（同时，须要有一点宏观思维）。
3、优化
这6个过程，是不是有点麻烦，同时仔细的搭档可能也发现了，这6个办法是及其类似的，那么咱们是不是能够定义from、to、other三个变量，他们都能够示意左、中、右。当我左到右时，from=左、to=右、other=中；当左到中时，from=左、to=中、other=右……是不是就能六合一号召神龙了。
同样拆解为以下三步
1）（大步）将1、2圆盘（即下面n-1个圆盘）从左移到中杆上
2）将3圆盘（即最大的圆盘）从左移到右杆上
3）（大步）将1、2圆盘（即下面n-1个圆盘）从中移到右杆上
/** * 第一次调用function时：from=左、to=右、other=中 * 示意借助other=中，将圆盘从from=左挪动到to=右杆上 * * @author Java和算法学习：周一 * * @param n 总共的圆盘数量 * @param from 起始地位 * @param to 指标地位 * @param other 残余杆子 */public static void function(int n, String from, String to, String other) { if (n == 1) { System.out.println("Move 1 from " + from + " to " + to); return; } // 1.将下面n-1个圆盘从左移到中杆上， // 即起始地位为左，以后from=左；指标地位中，以后other=中 function(n - 1, from, other, to); // 2.将最大的圆盘从左移到右杆上 System.out.println("Move " + n + " from " + from + " to " + to); // 3.将下面n-1个圆盘从中移到右杆上 // 即起始地位为中，以后other=中；指标地位右，以后to=右 function(n - 1, other, to, from);}这时候，咱们就学会了一个技巧，一个递归函数能够通过减少参数的形式表白更多的可能性，听着跟废话一样，然而当初你再品品。
然而，若没有后面启发性的过程，间接看这个是不是有点难懂；有了启发性的过程，再看是不是恍然大悟。
是不是发现上课时听老师讲汉诺塔时一头雾水，要是老师过后能这么讲相对听的明明白白。此处应有掌声（和点赞）。
零打碎敲，再来看看几个递归过程。
二、打印一个字符串的全副子序列
1、子序列定义
对于字符串"12345"，任意取其中0个、1个、2个、3个、4个、5个都是它的子序列，同时绝对程序不能扭转。
对于字符串“123”，咱们能够很容易剖析出以下递归过程
2、代码
/** * @author Java和算法学习：周一 */public static List<String> getAllSubSequences(String s) { char[] str = s.toCharArray(); List<String> answer = new ArrayList<>(); String path = ""; process1(str, 0, answer, path); return answer;}/** * 以后来到了str[index]字符 * str[0..index-1]曾经走过了，之前的抉择都在path上，之前的抉择曾经不能扭转了，就是path。 * 然而str[index....]还能自由选择，把str[index....]所有生成的子序列，放入到answer里 * * @param str 指定的字符串（固定） * @param index 以后所处的地位 * @param answer 之前决策依据产生的答案 * @param path 之前曾经做的抉择 */public static void process1(char[] str, int index, List<String> answer, String path) { // 以后来到了字符串的最初地位，曾经不能再做决策了，answer只能放入之前的决策 if (index == str.length) { answer.add(path); return; } // 以后没有要index地位的字符 process1(str, index + 1, answer, path); // 以后要index地位的字符 process1(str, index + 1, answer, path + str[index]);}process1办法就是下面剖析进去的递归过程。
三、打印一个字符串的全副子序列，没有反复值
打印一个字符串的全副子序列，要求没有反复字面值的子序列，间接将下面的List换成Set即可去重。
/** * 打印一个字符串的全副子序列，要求没有反复字面值的子序列 * * @author Java和算法学习：周一 */public static Set<String> getAllSubSequencesNoRepeat(String s) { char[] str = s.toCharArray(); Set<String> answer = new HashSet<>(); String path = ""; process2(str, 0, answer, path); return answer;}public static void process2(char[] str, int index, Set<String> answer, String path) { if (index == str.length) { answer.add(path); return; } process2(str, index + 1, answer, path); process2(str, index + 1, answer, path + str[index]);}四、打印一个字符串的全副全排列
1、全排列定义
所有字符都要，只是程序不同。
2、采纳舍弃增加的形式
（1）递归过程如下
在第一大列抉择a时，造成了一些后果，当我进行第二大列递归时，得把a增加回去，放弃最开始的abc，在第二大列抉择b时进行递归失去的后果才是正确的，对于每一列的每一位抉择都是如此，递归完结后要复原现场。
（2）代码
/** * 1.增加删除的形式 * * @author Java和算法学习：周一 */public static List<String> permutation1(String s) { List<String> answer = new ArrayList<>(); if (s == null || s.length() == 0) { return answer; } ArrayList<Character> strList = new ArrayList<>(); for (char c : s.toCharArray()) { strList.add(c); } String path = ""; process1(strList, path, answer); return answer;}/** * 递归获取全排列 * * @param strList 以后参加抉择的所有字符 * @param path 之前所做的抉择 * @param answer 最终后果 */private static void process1(ArrayList<Character> strList, String path, List<String> answer) { // 以后没有能够抉择的字符了，answer只能放入之前的抉择 if (strList.isEmpty()) { answer.add(path); return; } for (int i = 0; i < strList.size(); i++) { // 以后抉择的字符 char cur = strList.get(i); // 舍弃曾经抉择的字符 strList.remove(i); // 残余字符再进行抉择 process1(strList, path + cur, answer); // 复原现场 strList.add(i, cur); }}3、始终在原始字符串上以替换的形式进行递归
在第一大列造成后果acb时，如果不复原现场，当我进行第二大列递归时，是从acb开始进行0、1位替换造成cab，和前面的反复了，所以每一步替换递归完结后要复原现场。
（1）递归过程如下
（2）代码
/** * 2.替换的形式 * * @author Java和算法学习：周一 */public static List<String> permutation2(String s) { List<String> answer = new ArrayList<>(); if (s == null || s.length() == 0) { return answer; } char[] str = s.toCharArray(); process2(str, 0, answer); return answer;}/** * 递归获取全排列 * * @param str 以后经验过替换后的字符 * @param index 以后替换到哪个地位了 * @param answer 后果 */private static void process2(char[] str, int index, List<String> answer) { // 以后来到了字符串的最初地位，曾经不能再替换了，answer只能放入之前替换后的字符 if (index == str.length) { answer.add(String.valueOf(str)); return; } // index之前的曾经替换过不能再变了，所以从index往后还能够再替换 for (int i = index; i < str.length; i++) { // index、i地位替换 swap(str, index, i); // index前面的持续替换 process2(str, index + 1, answer); // index、i地位 复原现场 swap(str, index, i); }}五、打印一个字符串的全副全排列，没有反复值
1、代码
/** * 替换的形式，去重 * * @author Java和算法学习：周一 */public static List<String> permutation3(String s) { List<String> answer = new ArrayList<>(); if (s == null || s.length() == 0) { return answer; } char[] str = s.toCharArray(); process3(str, 0, answer); return answer;}/** * 递归获取全排列，没有反复的字符串 * * @param str 以后经验过替换后的字符 * @param index 以后替换到哪个地位了 * @param answer 后果 */private static void process3(char[] str, int index, List<String> answer) { // 以后来到了字符串的最初地位，曾经不能再替换了，answer只能放入之前替换后的字符 if (index == str.length) { answer.add(String.valueOf(str)); return; } boolean[] visited = new boolean[256]; // index之前的曾经替换过不能再变了，所以从index往后还能够再替换 for (int i = index; i < str.length; i++) { // str[i]地位对应字符没有呈现过才递归替换，否则疏忽 if (!visited[str[i]]) { visited[str[i]] = true; // index、i地位替换 swap(str, index, i); // index前面的持续替换 process3(str, index + 1, answer); // index、i地位 复原现场 swap(str, index, i); } }}2、为啥咱们不采纳Set的形式来去重？
认真看以上代码，发现没有再用Set的办法来去重，为啥？
因为采纳Set去重，程序会反复的做很多雷同字符的递归操作，将产生的雷同字符串放到Set中由Set去重；而采纳以上形式，对于雷同的字符就不会再反复的递归了，无效缩小了反复分支的递归操作，俗称剪枝。
相当于Set是从后果中过滤去重，而以上形式是在中途的过程就曾经去重了。
六、栈的逆序
给你一个栈，请你逆序这个栈，不能申请额定的数据结构，只能应用递归函数。如何实现?
1、失去栈底元素
（1）代码
/** * 失去栈底元素，残余元素间接下沉 * * 例如，从栈顶到栈底元素为1、2、3、4、5 * 此办法返回5，残余从栈顶到栈底元素为1、2、3、4 * * @author Java和算法学习：周一 */private static int getDown(Stack<Integer> stack) { int result = stack.pop(); if (stack.isEmpty()) { return result; } else { int last = getDown(stack); stack.push(result); return last; }}（2）过程
2、递归逆序
（1）代码
/** * @author Java和算法学习：周一 */public static void reverse(Stack<Integer> stack) { if (stack.isEmpty()) { return; } int down = getDown(stack); reverse(stack); stack.push(down);}（2）过程
本文所有代码
Github地址：https://github.com/monday-pro/algorithm-study/tree/master/src/basic/dynamicprogramming/recursion
Gitee地址：https://gitee.com/monday-pro/algorithm-study/tree/master/src/basic/dynamicprogramming/recursion
怎么样，是不是如沐春风般醍醐灌顶。