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这篇文章介绍了一类离散随机稳定率模型，并介绍了一些非凡状况，包含 GARCH 和 ARCH 模型。我展现了如何模仿这些过程以及参数估计。我为这些试验编写的 Python 代码在文章开端援用。

离散随机稳定率模型

是一个随机基，有一个残缺的  的可测量子集  , 一个概率测量和一个过滤

  • 因而，工夫实例应用非负整数进行索引 
  • 获取序列的第一个 t元素 , 记号.

_离散随机稳定率_(   DSV) 模型  是一个实值 stochastic process （一系列随机变量）满足以下方程：

其中：

  • Z 是适应于 F 的噪声过程。
  • i 是实数，我假如  并且 gi ,hi 是非负值。
  • fi 、gi 和 h_ihi 是过程的确定性函数。
  • 过程 通常称为 _偏移_，而 称为  X的_稳定率。_因为 是一个随机过程，所以下面定义的过程 X 属于一个随机稳定率模型的大家族。
  • 对于噪声过程 Z，使得每个 Z_t的均值和方差都存在，咱们有  和 .

案例

制订通用 DSV 模型的特化：

后移算子 ，对于 ，产生其参数过程的滞后版本，即 ， 和 ， 如果 . 例如

为不便起见，我设置  和 .

对于上面列表中的所有非凡状况，我假如函数 f\_i、g\_ifi 、gi 和 h_ihi 从参数过程的历史中抉择一个元素，即 ， 和 .

_GARCH_ 过程定义另外设置。

_GARCH(1, 1)_过程十分风行，所以让咱们明确地统计动静：

在 _ARCH_ 过程中，波动性具备简化模式，对于所有 i，i = 0，并且 。

_ARCH(1)_过程还 满足  对所有  :

模仿

离散随机稳定率模型通常用于对察看到的工夫序列的对数收益进行建模。因而，为了模仿原始工夫序列的门路，咱们须要模仿其对数收益并计算 .

由带参数的高斯噪声驱动的 GARCH(1,1) 过程的样本门路 :

path( \[0.001, 0.2, 0.25\])cumprod* repeat.reshapeplt.subplots

留神 过程为  不能低于 ≈0.0353

最大似然预计

最大似然（ML）参数估计是所有探讨模型的抉择办法，因为转换密度，即给定过来信息的 X_t 的密度是明确已知的。因而，过程样本门路 x 的对数似然函数由下式给出

其中，而 是 Z的密度。将上述对数似然函数最小化可失去 的最大似然预计：

.

蒙特卡罗钻研

为了测试 ML 参数估计过程，我进行了以下蒙特卡罗试验。

  • 应用参数 (0.001, 0.2, 0.25) 模仿长度为 5000 的 2500 个独立 GARCH(1,1) 过程门路。我应用了高斯噪声，即 .
  • 将这些门路中的每一个都输出到 ML 预计并取得预计的参数向量 .
  • 此优化过程中参数的搜寻范畴限度为 [1e-8, 1]。
  • 将原始与预计的 进行比拟。
  • 应用参数向量模仿 GARCH(1,1)，计算均值和标准差，并将它们与“实在”均值和标准差（别离为 5.098 和 1.084）进行比拟。

正如冀望的那样，估计量 十分不精确，并且在大多数状况下，甚至不靠近实在向量。特地是，预计的和 通常设置为零（参见上面的直方图）。

ps = \[0.001, 0.2, 0.25\]cumprod * repeatprint, np.std

另一方面，来自预计的的过程均值和标准偏差要精确得多。这是一件坏事，因为咱们通常更关怀复原未知数据生成过程的特色，而不是模型的实在参数值。

    mes, stvs, esms       ax\[1\].hist    fig.tight_layout

柯西乐音

噪声过程  不用归一化为均值 0 和方差 1。实际上，咱们只须要确保随机变量 Zt 的散布具备密度即可。如果是这种状况，过程模仿和 ML 预计都能够依照形容的形式工作。

那么如何用从柯西散布中采样的噪声替换高斯噪声呢？在许多概率论书籍中，柯西散布被用作反例，因为它具备许多“病态”个性。例如，它没有均值，因而也没有方差。

我不晓得柯西散布中的不稳固样本是什么样子的。看一下带有参数向量的 GARCH(1,1) 过程的示例门路 :

如果应用门路生成函数的工夫足够长，甚至可能会生成溢出异样。因而，我用来生成下面显示的直方图的 Python 函数失败了。为了理解起因，让咱们应用来自柯西散布的样本生成一些直方图：

柯西散布具备分位数函数

对 评估 给出

这意味着，例如，在 0.0001 的概率下，采样值大于 3183.10。为了比拟，让咱们计算规范正态分布的相应分位数：

norm.ppf(0.99)

norm.ppf(0.999)

norm.ppf(0.9999)

 

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