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测试非线性回归中的交互作用

因子试验在农业中十分广泛，它们通常用于测试试验因素之间相互作用的重要性。例如，能够在两种不同的施氮程度（例如高和低）下进行基因型评估，以理解基因型的排名是否取决于营养的可用性。对于那些不太理解农业的人，我只会说这样的评估是相干的，因为咱们须要晓得咱们是否能够举荐雷同的基因型，例如，在传统农业（高氮可用性）和有机农业中农业氮的可用性。

让咱们思考一个试验，在该试验中，咱们在残缺的区组因子设计中以两种氮含量（“高”和“低”）测试了三种基因型（为了简便起见，咱们称它们为 A、B 和 C），并进行四次反复。在八个不同的工夫（收获后天数：DAS）从 24 个地块中的每一个中取出生物量子样本，以评估生物量随工夫的增长。

加载数据并将“Block”变量转换为一个因子。

head(dataset)

数据集由以下变量组成：

  1. 'Id'：察看的数字代码
  2. 'DAS'：即收获后的天数。这是采集样本的时刻
  3. 'Block', 'Plot', 'GEN' 和 'N' 别离代表每个察看的块、图、基因型和氮程度
  4. “产量”代表播种的生物量。

查看察看到的增长数据，如下图所示。

咱们看到增长是对称的（大略是逻辑的）并且察看的方差随着工夫的推移而减少，即方差与冀望因变量成正比。

问题是：咱们如何剖析这些数据？

模型

咱们能够凭教训假如生物量和工夫之间的关系是逻辑的：

其中Y是第i个基因型、第j个氮程度、第k个区块和第l个小区在X工夫察看到的生物量产量，d是工夫进入无穷大时的最大渐进生物量程度，b是拐点处的斜率，而e是生物量产量等于d/2时的工夫。咱们次要对参数d和e感兴趣：第一个参数形容基因型的产量后劲，而第二个参数给出成长速度的测量。
 

每个小区都有反复测量，因而，模型参数可能显示出一些变动，取决于基因型、氮程度、区块和小区。特地是，假如b是相当恒定的，并且独立于上述因素，而d和e可能依据以下公式发生变化，这是能够承受的。

其中，对于每个参数，是截距，gg是第i个基因型的固定效应，NN是第j个氮程度的固定效应，gNgN是固定交互效应，是区块的随机效应，而是区块边疆块的随机效应。这两个方程齐全等同于通常用于线性混合模型的方程，在双因素因子区块设计的状况下，其中是残差误差项。事实上，原则上，咱们也能够思考两步法的拟合程序，即咱们。

  1. 将逻辑模型拟合到每个图的数据并取得 d 和 e 的估计值
  2. 应用这些预计来拟合线性混合模型

咱们不会在这里谋求这种两步法，咱们将专一于一步拟合。

谬误的办法

如果察看是独立的（即没有块和没有反复测量），这个模型能够通过应用传统的非线性回归来拟合。

编码报告如下。产量 "是(∼)DAS的函数，通过一个三参数的Logistic函数。对于基因型和氮程度的不同组合必须拟合不同的曲线（id = N:GEN），只管这些曲线应该局部地基于独特的参数值（'models = ...）。model"参数须要一些补充阐明。它必须是一个矢量，其元素数与模型中的参数数一样多（在本例中是三个：B、D和E）。每个元素代表一个变量的线性函数，并按字母程序指向参数，即第一个元素指b，第二个指d，第三个指e。参数b不依赖于任何变量（'~1'），因而在不同的曲线上拟合出一个常数；d和e依赖于基因型和氮程度的齐全因子组合（~N*GEN = ~N + GEN + N:GEN）。最初，咱们应用参数'bcVal = 0.5'来指定咱们打算应用转换两边办法，即对方程的两边进行对数转换。这对于思考异方差是必要的，但它不影响参数估计。

rm(Yield ~ DAS, dta =daas,           id = GEN：N,            model = c( ~ 1,  ~ N\*GEN,  ~ N\*GEN))

这个模型对于其余状况（无区块和无反复测量）可能是有用的，但在咱们的例子中是谬误的。事实上，观测值在区块和地块内是聚在一起的；如果疏忽这一点，咱们就违反了模型残差独立的假如。残差与拟合值的图显示，不存在异方差的问题。

 

思考到上述情况，咱们必须在这里应用不同的模型，只管我将证实这种拟合可能会很有用。

非线性混合模型拟合

为了解释察看的类，咱们切换到非线性混合效应模型（NLME）。一个不错的抉择是'nlme()' 函数（Pinheiro 和 Bates，2000），只管有时语法可能很麻烦。咱们须要指定以下内容：

  1. 模型参数的线性函数。nlme'函数中的'fixed'参数与下面函数中的'models'参数十分类似，即它须要一个列表，其中每个元素都是变量的线性函数。惟一的区别是，参数名称须要在函数的左侧指定。
  2. 模型参数的随机效应。这些是通过应用 "随机 "参数来指定的。在这种状况下，参数d和e无望在一个区块内的不同区块和不同地块之间显示随机变动。为了简略起见，因为参数b不受基因型和氮程度的影响，咱们也心愿它在区块和地块之间不显示任何随机变动。
  3. 模型参数的起始值。咱们须要指定模型参数的初始值。在这种状况下，我决定应用下面非线性回归的输入。

方程两边的变换。

nlme(sqtYld ~ srtLS.L3(DAS, b, d, e)tTable

从上图中，咱们看到整体拟合良好。随机效应的固定效应和方差重量按如下形式取得：

summary(mdnle1)

当初，让咱们回到咱们最后的目标：测试 "基因型x氮 "交互作用的显著性。事实上，咱们有两个可用的测试：一个是参数d，一个是参数e。首先，咱们对两个 "简化 "模型进行编码。为此，咱们把固定效应从'~ N*GEN'改为'~ N + GEN'。同样在这种状况下，咱们应用非线性回归拟合来取得模型参数的起始值，用于上面的NLME模型拟合。

 

mdNave2 <- Yied ~ DAS            modes = c( ~ 1,  ~ N + GEN,  ~ N * GENmdnle2 <-sqrt(Yeld) ~ sqrt(NS.3(DAS, b, d, emdaie3 <- Yied ~ DAS            crid = N:GEN            modls = c( ~ 1,  ~ N*GEN,  ~ N + GENmdne3 <- sqrt(Yild) ~ sqrt(NS.L3(DAS, b, d, e                    ranom = d + e~ 1|Blck/Pot                    fixd = lit(b ~ 1 d ~ N*GN, e ~ N + GN)

让咱们思考第一个放大的模型'modnlme2'。在这个模型中，"基因型x氮 "的交互作用曾经被移除，用于d参数。咱们能够通过应用似然比测验来比拟这个模型和残缺的模型 "modnlme1"。

aova(mode1, mdne2)

该测验是显著的，但两个模型的AIC值十分靠近。思考到混合模型中的LRT通常比拟宽松，应该能够得出结论，"基因型x氮素 "的交互作用不显著，因而，用d参数掂量的基因型在产量后劲方面的排名应该与氮素程度无关。

当初让咱们思考第二个简化模型“modnlme3”。在第二个模型中，“e”参数的“基因型 x 氮”交互作用已被删除。咱们还能够应用似然比测验将此简化模型与残缺模型“modnlme1”进行比拟：

anva(mole1, mdle3)

在这第二次测验中，"基因型x氮素 "交互作用的不显著性仿佛比第一次测验更可信。

 

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