前言

在咱们曾经把握了那么多建管子的办法之后，咱们开始切题，看看咱们能用起码的概念做哪些自举产生的事。在这一章中咱们讲仅应用字符串"e"，函数，if-else分支，=="e"运算，这四个概念来实现一个自然数的概念（理论中还用到了bool值，不过bool自身也能够用"e"和f("e")示意）。

皮亚诺公理

咱们首先回顾一下，数学如何定义即皮亚诺公理如何定义自然数，事实上，皮亚诺公理定义的是「有限可数集」的概念

  • (1) $$e \in S$$
  • (2) $$(\forall a \in S)(f(a) \in S)$$
  • (3) $$(\forall b \in S)(\forall c \in S)(f(b) = f(c) \rightarrow b = c)$$
  • (4) $$(\forall \in S)(f(a) \ne e)$$
  • (5) $$(\forall A \subseteq S)(((e \in A) \land (\forall a \in A)(f(a) \in A)) \rightarrow (A = S))$$
  • (1) 示意咱们须要一个初始值，来表述咱们能够从第一个货色开始数数，在这个符号集里叫\(e\)。对应于自然数的「1」的概念。
  • (2) 示意往下数一个数的操作，这个符号集里用\(f\)表述，咱们个别也把这个操作叫后继。对应自然数中「加一」/「往下数一」的概念
  • (3) 确定恒等关系。
  • (4) 确定\(e\)不是任何数的后继，保障它是第一个被数的数。
  • (5) 归纳法

实现

咱们仅仅须要上面两行代码就曾经实现了自然数的全副定义，咱们应用递归示意向下数数，用"e"表白了起始值「1」

one = "e" # 1f = lambda x: lambda : x # 后继

当然，这么一个定义，是没有任何意义的，咱们还须要实现判断相等、加法、乘法这三个最简略的算法。首先判断全等的办法就是咱们将两个函数有限地求值上来，看到最初是不是同时失去"e"值，这也是对应了性质(3)：

def equal(x, y) -> bool:    if x =="e" and y =="e":        return True    elif x =="e":        return False    elif y =="e":        return False    else:        return equal(x(), y())not_equal = lambda x, y: not(equal(x, y))

留神我在下面的实现中应用了x =="e"这种后面带空格而前面不带空格的写法，其实是为了强调，=="e"是一个一元运算，咱们仅应用到了它，而不须要其余概念。而认真探索这个算式，咱们发现其实它也隐式地用到定义(4)，只有一个不为"e"咱们就能够确定它们是不相等的。

定义加法其实也是一个非常容易的操作，咱们只须要让一个参数计算后继，一个参数求值产生前继的概念：

def add(x, y):    if y =="e":        return f(x)    else:        return add(f(x), y())

最初是乘法的概念，这个咱们能够调用add来递归实现：

def multiply(x, y):    if y =="e":        return x    else:        return add(multiply(x, y()), x)

其实咱们也能够同理取得一个自然数求幂的函数，十分相似下面multiply的实现

def power(x, y):    if y =="e":        return x    else:        return multiply(power(x, y()), x)

这样咱们能够十分疾速地给20以内的数取名字了：

one = "e"two = f(one)three = f(two)four = f(three)five= f(four)six = f(five)seven = f(six)eight = f(seven)nine = f(eight)ten = f(nine)eleven = f(ten)twelve = f(eleven)thirteen = f(twelve)fourteen = f(thirteen)fifteen = f(fourteen)sixteen = f(fifteen)seventeen = f(sixteen)eighteen = f(seventeen)nineteen = f(eighteen)

OK，最初咱们能够通过equal验证咱们的算法对不对：

>>> assert equal(add(two, one), three)>>> assert not_equal(power(two, three), seven)>>> assert equal(power(two, three), eight)>>> assert equal(multiply(three, five), fifteen)

结语

这一篇咱们偏题地实现了一个「自然数」的定义，目标是为了展示，函数式编程的魅力在于：

  1. 咱们能够用非常少的概念（在这个例子中是4个）就能够自举地实现十分多的事件。这个也是晚期LISP语言（一种常见的动静函数式语言）会那么在AI畛域或者一些对语言内核大小十分敏感的畛域的起因。
  2. 因为函数式编程中的函数和数学上的函数十分靠近，这使得在数学上应用的代数运算，都能够十分不便的实现（当然这一点咱们在前面也会一一例举进去）。