原文链接：http://tecdat.cn/?p=23524

在本文中，我想向你展现如何应用R的Metropolis采样从贝叶斯Poisson回归模型中采样。

Metropolis-Hastings算法

Metropolis-Hastings抽样算法是一类马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）办法，其次要思维是生成一个马尔科夫链使其安稳散布为指标散布。这种算法最常见的利用之一是在贝叶斯统计中从后验密度中取样，这也是本文的指标。

该算法规定对于一个给定的状态Xt，如何生成下一个状态  有一个候选点Y，它是从一个提议散布 ,中生成的，依据决策规范被承受，所以链条在工夫t+1时挪动到状态Y，即Xt+1=Y或被回绝，所以链条在工夫t+1时放弃在状态Xt，即Xt+1=Xt。

Metropolis 采样

在Metropolis算法中，提议散布是对称的，也就是说，提议散布  满足 

，所以Metropolis采样器产生马尔科夫链的过程如下。

  1. 抉择一个提议散布. 在抉择它之前，理解这个函数中的现实特色。
  2. 从提议散布g中生成X0。
  3. 反复进行，直到链收敛到一个安稳的散布。
  • 从 生成Y.
  • 从Uniform(0, 1)中生成U。
  • 如果 , 承受Y并设置Xt+1=Y，否则设置Xt+1=Xt。这意味着候选点Y被大概率地承受.
  • 递增t.

贝叶斯办法

正如我之前提到的，咱们要从定义为泊松回归模型的贝叶斯中取样。

对于贝叶斯剖析中的参数估计，咱们须要找到感兴趣的模型的似然函数，在这种状况下，从泊松回归模型中找到。

当初咱们必须为每个参数0和1指定一个先验散布。咱们将对这两个参数应用无信息的正态分布，0∼N(0,100)和1∼N(0,100) 。

最初，咱们将后验散布定义为先验散布和似然散布的乘积。

应用Metropolis采样器时，后验散布将是指标散布。

计算方法

这里你将学习如何应用R语言的Metropolis采样器从参数0和1的后验散布中采样。

数据

首先，咱们从下面介绍的泊松回归模型生成数据。

n <- 1000 #  样本大小J <- 2 # 参数的数量X <- runif(n,-2,2) # 生成自变量的值beta <- runif(J,-2,2) #生成参数的值y <- rpois(n, lambda = lambda) # 生成因变量的值

似然函数

当初咱们定义似然函数。在这种状况下，咱们将应用这个函数的对数，这是强烈建议的，以防止在运行算法时呈现数字问题。

LikelihoodFunction <- function(param){        beta0 <- param\[1\]         beta1 <- param\[2\]         lambda <- exp(beta1*X + beta0)        # 对数似然函数        loglikelihoods <- sum(dpois(y, lambda = lambda, log=T))         return(loglikelihoods)}

先验散布

接下来咱们定义参数0和1的先验散布。与似然函数一样，咱们将应用先验散布的对数。

        beta0prior <- dnorm(beta0, 0, sqrt(100), log=TRUE)        beta1prior <- dnorm(beta1, 0, sqrt(100), log=TRUE)        return(beta0prior + beta1prior) #先验散布的对数

后验散布

因为咱们是用对数工作的，咱们把后验散布定义为似然函数的对数与先验散布的对数之和。记住，这个函数是咱们的指标函数f(.)，咱们要从中取样。

提议函数

最初，咱们定义提议散布g(.|Xt)。因为咱们将应用Metropolis采样器，提议散布必须是对称的，并且取决于链的以后状态，因而咱们将应用正态分布，其平均值等于以后状态下的参数值。

Metropolis 采样器

最初，咱们编写代码，帮忙咱们执行Metropolis采样器。在这种状况下，因为咱们应用的是对数，咱们必须将候选点Y被承受的概率定义为。

        # 创立一个数组来保留链的值        chain\[1, \] <- startvalue # 定义链的起始值        for (i in 1:iterations){                # 从提议函数生成Y                Y <- ProposalFunction(chain\[i, \])                 # 候选点被承受的概率                                           PosteriorFunction(chain\[i, \]))                # 承受或回绝Y的决策规范                 if (runif(1) < probability) {                        chain\[i+1, \] <- Y                }else{                         chain\[i+1, \] <- chain\[i, \]

因为MCMC链具备很强的自相干，它可能产生的样本在短期内无奈代表实在的根底后验散布。那么，为了缩小自相干，咱们能够只应用链上的每一个n个值来浓缩样本。在这种状况下，咱们将在算法的每20次迭代中为咱们的最终链抉择一个值。

startvalue <- c(0, 0) # 定义链条的起始值#每20次迭代抉择最终链的值for (i in 1:10000){        if (i == 1){                cfinal\[i, \] <- chain\[i*20,\]        } else {                cfinal\[i, \] <- chain\[i*20,\]# 删除链上的前5000个值burnIn <- 5000

在这里，你能够看到ACF图，它给咱们提供了任何序列与其滞后值的自相干值。在这种状况下，咱们展现了初始MCMC链的ACF图和对两个参数的样本进行浓缩后的最终链。从图中咱们能够得出结论，所应用的程序实际上可能大大减少自相干。

后果

在这一节中，咱们介绍了由Metropolis采样器产生的链以及它对参数0和1的散布。参数的实在值由红线示意。

与glm()的比拟

当初咱们必须将应用Metropolis采样失去的后果与glm()函数进行比拟，glm()函数用于拟合狭义linera模型。

下表列出了参数的理论值和应用Metropolis采样器失去的估计值的平均值。

##       True value Mean MCMC       glm## beta0  1.0578047 1.0769213 1.0769789## beta1  0.8113144 0.8007347 0.8009269

论断

从后果来看，咱们能够得出结论，应用Metropolis采样器和glm()函数失去的泊松回归模型的参数0和1的估计值十分类似，并且靠近于参数的理论值。另外，必须意识到先验散布、倡议散布和链的初始值的抉择对后果有很大的影响，因而这种抉择必须正确进行。

最受欢迎的见解

1.R语言多元Logistic逻辑回归 利用案例

2.面板平滑转移回归(PSTR)剖析案例实现

3.matlab中的偏最小二乘回归（PLSR）和主成分回归（PCR）

4.R语言泊松Poisson回归模型剖析案例

5.R语言回归中的Hosmer-Lemeshow拟合优度测验

6.r语言中对LASSO回归，Ridge岭回归和Elastic Net模型实现

7.在R语言中实现Logistic逻辑回归

8.python用线性回归预测股票价格

9.R语言如何在生存剖析与Cox回归中计算IDI，NRI指标