简介
本文将会以图表的模式为大家解说怎么在NumPy中进行多维数据的线性代数运算。
多维数据的线性代数通常被用在图像处理的图形变换中，本文将会应用一个图像的例子进行阐明。
图形加载和阐明
相熟色彩的敌人应该都晓得，一个色彩能够用R，G，B来示意，如果更高级一点，那么还有一个A示意透明度。通常咱们用一个四个属性的数组来示意。
对于一个二维的图像来说，其分辨率能够看做是一个X*Y的矩阵，矩阵中的每个点的色彩都能够用（R，G，B）来示意。
有了下面的常识，咱们就能够对图像的色彩进行合成了。
首先须要加载一个图像，咱们应用imageio.imread办法来加载一个本地图像，如下所示：
import imageioimg=imageio.imread('img.png')print(type(img))下面的代码从本地读取图片到img对象中，应用type能够查看img的类型，从运行后果，咱们能够看到img的类型是一个数组。
class 'imageio.core.util.Array'通过img.shape能够失去img是一个(80, 170, 4)的三维数组，也就是说这个图像的分辨率是80*170，每个像素是一个（R，B，G，A）的数组。
最初将图像画进去如下所示：
import matplotlib.pyplot as pltplt.imshow(img)图形的灰度
对于三维数组来说，咱们能够别离失去三种色彩的数组如下所示：
red_array = img_array[:, :, 0]green_array = img_array[:, :, 1]blue_array = img_array[:, :, 2]有了三个色彩之后咱们能够应用上面的公式对其进行灰度变换：
Y=0.2126R + 0.7152G + 0.0722B上图中Y示意的是灰度。
怎么应用矩阵的乘法呢？应用 @ 就能够了：
img_gray = img_array @ [0.2126, 0.7152, 0.0722]当初img是一个80 * 170的矩阵。
当初应用cmap="gray"作图：
plt.imshow(img_gray, cmap="gray")能够失去上面的灰度图像：
灰度图像的压缩
灰度图像是对图像的色彩进行变换，如果要对图像进行压缩该怎么解决呢？
矩阵运算中有一个概念叫做奇怪值和特征值。
设A为n阶矩阵，若存在常数及n维非零向量x，使得Ax=x，则称是矩阵A的特征值，x是A属于特征值的特征向量。
一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。
即特征向量被施以线性变换 A 只会使向量伸长或缩短而其方向不被扭转。
特色合成（Eigendecomposition），又称谱合成（Spectral decomposition）是将矩阵合成为由其特征值和特征向量示意的矩阵之积的办法。
如果A是m n阶矩阵，q=min(m,n)，AA的q个非负特征值的算术平方根叫作A的奇怪值。
特征值合成能够不便的提取矩阵的特色，然而前提是这个矩阵是一个方阵。如果是非方阵的状况下，就须要用到奇怪值合成了。先看下奇怪值合成的定义：
$A=UV^T$
其中A是指标要合成的m n的矩阵，U是一个 m m的方阵， 是一个m n 的矩阵，其非对角线上的元素都是0。$V^T$是V的转置，也是一个n n的矩阵。
奇怪值跟特征值相似，在矩阵中也是从大到小排列，而且奇怪值的缩小特地的快，在很多状况下，前10%甚至1%的奇怪值的和就占了全副的奇怪值之和的99%以上了。也就是说，咱们也能够用前r大的奇怪值来近似形容矩阵。r是一个远小于m、n的数，这样就能够进行压缩矩阵。
通过奇怪值合成，咱们能够通过更加大量的数据来近似代替原矩阵。
要想应用奇怪值合成svd能够间接调用linalg.svd 如下所示：
U, s, Vt = linalg.svd(img_gray)其中U是一个m m矩阵，Vt是一个n n矩阵。
在上述的图像中，U是一个(80, 80)的矩阵，而Vt是一个(170, 170) 的矩阵。而s是一个80的数组，s蕴含了img中的奇怪值。
如果将s用图像来示意，咱们能够看到大部分的奇怪值都集中在前的局部：
这也就意味着，咱们能够取s中后面的局部值来进行图像的重构。
应用s对图像进行重构，须要将s还原成80 * 170 的矩阵：
# 重建import numpy as npSigma = np.zeros((80, 170))for i in range(80): Sigma[i, i] = s[i]应用 U @ Sigma @ Vt 即可重建原来的矩阵，能够通过计算linalg.norm来比拟一下原矩阵和重建的矩阵之间的差别。
linalg.norm(img_gray - U @ Sigma @ Vt)或者应用np.allclose来比拟两个矩阵的不同：
np.allclose(img_gray, U @ Sigma @ Vt)或者只取s数组的前10个元素，进行从新绘图，比拟一下和原图的区别：
k = 10approx = U @ Sigma[:, :k] @ Vt[:k, :]plt.imshow(approx, cmap="gray")能够看到，差别并不是很大：
原始图像的压缩
上一节咱们讲到了如何进行灰度图像的压缩，那么如何对原始图像进行压缩呢？
同样能够应用linalg.svd对矩阵进行合成。
然而在应用前须要进行一些解决，因为原始图像的img_array 是一个(80, 170, 3)的矩阵--这里咱们将透明度去掉了，只保留了R，B，G三个属性。
在进行转换之前，咱们须要把不须要变换的轴放到最后面，也就是说将index=2，换到index=0的地位，而后进行svd操作：
img_array_transposed = np.transpose(img_array, (2, 0, 1))print(img_array_transposed.shape)U, s, Vt = linalg.svd(img_array_transposed)print(U.shape, s.shape, Vt.shape)同样的，当初s是一个(3, 80)的矩阵，还是少了一维，如果重建图像，须要将其进行填充和解决，最初将重建的图像输入：
Sigma = np.zeros((3, 80, 170))for j in range(3): np.fill_diagonal(Sigma[j, :, :], s[j, :])reconstructed = U @ Sigma @ Vtprint(reconstructed.shape)plt.imshow(np.transpose(reconstructed, (1, 2, 0)))当然，也能够抉择后面的K个特征值对图像进行压缩：
approx_img = U @ Sigma[..., :k] @ Vt[..., :k, :]print(approx_img.shape)plt.imshow(np.transpose(approx_img, (1, 2, 0)))从新构建的图像如下：
比照能够发现，尽管损失了局部精度，然而图像还是能够分辨的。
总结
图像的变动会波及到很多线性运算，大家能够以此文为例，认真钻研。
本文已收录于 http://www.flydean.com/08-python-numpy-linear-algebra/
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