写在后面：

大家好，我是时光。

明天给大家带来的是排序算法中的堆排序，这种排序跟二叉树相干。
我采纳图解形式解说，争取写透彻。话不多说，开始！

思维导图：

1，堆排序概念

堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。沉积是一个近似齐全二叉树的构造，并同时满足沉积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。

相干概念：

1.1，二叉树

特色：每个节点最多只有2个子节点（不存在度大于2的节点）

1.2，满二叉树

满二叉树：
叶子节点全副都在最底层；
除叶子节点外，每个节点都有左右孩子；

1.3，齐全二叉树

齐全二叉树：
叶子节点全副都在最底的两层；
最初一层只短少左边的叶子节点，右边肯定有叶子节点；
除了最初一层，其余层的节点个数均达到最大值；

1.4，最大堆和最小堆

最大堆：堆顶是整个堆中最大元素

最小堆：堆顶是整个堆中最小元素

2，算法思路

咱们先搞清楚这个堆排序思维，先把逻辑搞清楚，不焦急写代码。

咱们首先有一个无序数组，比方说

int[] arr={4,2,8,0,5,7,1,3,9};

既然用到堆，必定先要将数组构建成二叉堆。须要对数组从小到大排序，则构建成最大堆；须要对数组从小到大排序，则构建成最小堆。

2.1，第一个步骤，初始化堆

咱们先来看看数组是如何存储二叉树的

留神：这里思考的以后节点，必须是齐全二叉树的非叶子节点。并且节点的左孩子和右孩子必须小于数组长度，所以前面须要增加限度条件。

看到上图中的公式，咱们明确了数组是能够存储齐全二叉树，同时保留节点之间的关系。以上述数组为例

那么存储好之后，如何将二叉树构建成二叉堆呢？持续往下看

以这个图为例，咱们以最大堆举例，若要构建二叉堆，则A要比B和C都大，B要比D和E都大，C要比F和G都大。也就是说父节点要比子节点都大才行。

在这个图中，显著不满足最大堆的要求。咱们先拿序号为3,7,8的三个节点来钻研，i=3的节点比i=7和i=8的节点都小，所以须要替换地位。留神此图是从0开始，也就是模仿数组下标从0开始。

怎么替换呢？很简略。咱们看节点0，设为以后节点index，那么它的lchild=index*2+1，它的rchild=index*2+2；留神下标从0开始。

//初始化堆public static void HeapAdjust(int[] arr,int index,int len){        //先保留以后节点的下标        int max = index;        //保留左右孩子数组下标        int lchild = index*2+1;        int rchild = index*2+2;        //开始调整，左右孩子下标必须小于len，也就是确保数组不会越界        if(lchild<len && arr[lchild] > arr[max]){            max=lchild;        }        if(rchild<len && arr[rchild] > arr[max]){            max=rchild;        }        //若产生了替换，则max必定不等于index了。此时max节点值须要与index节点值替换，下面替换索引值，这里替换节点值        if(max!=index){            int temp=arr[index];            arr[index]=arr[max];            arr[max]=temp;            //替换完之后须要再次对max进行调整，因为此时max有可能不满足最大堆            HeapAdjust(arr,max,len);        }    }

下面代码很好了解，两头的两个if语句就是替换节点索引值，只有有一个孩子节点大于index，就须要进行替换。若父节点index比两个孩子节点都大，那么就不须要替换了。

最初面的if语句是替换节点值，咱们晓得，只有index与lchild和rchild有替换，则index肯定不等于max了！

那为什么最初的if语句外面还要加上一个递归写法呢？咱们举个例子就明确了，还是以上述数组为例，先看看一轮替换之后的样子：

第一次替换，0与9替换，此时Index=9；

第二次替换，8曾经比7和1都大了，此时不须要替换；

第三次替换，2与9替换，此时Index=9；

第四次替换，4与9替换，此时Index=9，第一轮替换到此结束。

一轮完结后，有小伙伴儿曾经发现问题了，尽管9胜利的成为最大堆的堆顶元素，然而上面的其余元素并不满足最大堆的要求，比如说左下角的元素2,元素3,元素0等这种二叉树就不满足，元素4，元素2，元素5也不满足。

因而在替换节点值这个步骤里，咱们须要进行递归操作，替换完之后再次对index进行堆调整：

//若产生了替换，则max必定不等于index了。此时max节点值须要与index节点值替换，下面替换索引值，这里替换节点值if(max!=index){    int temp=arr[index];    arr[index]=arr[max];    arr[max]=temp;    //替换完之后须要再次对max进行调整，因为此时max有可能不满足最大堆    HeapAdjust(arr,max,len);}

堆排序的测试：

//堆排序    public static int[] HeapSort(int[] arr){        int len=arr.length;        /**         * 第一步，初始化堆，最大堆，从小到大         * i从齐全二叉树的第一个非叶子节点开始，也就是len/2-1开始(数组下标从0开始)         */        for(int i=len/2-1;i>=0;i--){            HeapAdjust(arr,i,len);        }        //打印堆顶元素，应该为最大元素9        System.out.println(arr[0]);        return arr;    }

上述代码就是从齐全二叉树的第一个非叶子节点开始调换，还顺便打印堆顶元素，此时应为9；

至此，第一个步骤，初始化堆实现，最初的后果应该为下图：

2.2，第二个步骤，堆排序

堆排序的过程就是将堆顶元素（最大值或者最小值）与二叉堆的最开端叶子节点进行调换，不停的调换，直到二叉堆的程序变成从小到大或者从大到小，也就实现了咱们的目标。

咱们这里以最大堆的堆顶元素（最大元素）为例，最初调换的后果就是从小到大排序的后果。

第一次替换，咱们间接将元素9与元素0替换，此时堆顶元素为0，设以后节点index=0；

这时，咱们须要将剩下的元素（排除元素9）进行堆排序，直到上面这个后果：

代码：

/** * 第二步，替换堆顶（最大）元素和二叉堆的最初一个叶子节点元素。目标是替换元素 * i从二叉堆的最初一个叶子节点元素开始，也就是len-1开始(数组下标从0开始) */for(int i=len-1;i>=0;i--){    int temp=arr[i];    arr[i]=arr[0];    arr[0]=temp;    //替换完之后须要从新调整二叉堆，从头开始调整，此时Index=0    HeapAdjust(arr,0,i);}

留神：这里有个小细节问题，后面咱们写的初始化堆办法有三个参数，别离是数组arr，以后节点index以及数组长度len，如下：

HeapAdjust(int[] arr,int index,int len)

那么，为何不间接传入两个参数即可，数组长度间接用arr.length示意不就行了吗？初始化堆的时候是能够，然而前面在替换堆顶元素和开端的叶子节点时，在对剩下的元素进行排序时，此时的数组长度可不是arr.length了，应该是变动的参数i，因为替换之后的元素（比方9）就不计入堆中排序了，所以须要3个参数。

咱们进行第二次替换，咱们间接将元素8与元素2替换，此时堆顶元素为2，设以后节点index=2；

这时，咱们须要将剩下的元素（排除元素9和8）进行堆排序，直到上面这个后果：

到这个时候，咱们再反复上述步骤，一直调换堆顶和最开端的节点元素即可，再一直地对剩下的元素进行排序，最初就能失去从小到大排序好的堆了，如下图所示，这就是咱们想要的后果：

3，残缺代码

import java.util.Arrays;public class Head_Sort {    public static void main(String[] args) {        int[] arr={4,2,8,0,5,7,1,3,9};        System.out.println("排序前:"+Arrays.toString(arr));        System.out.println("排序后:"+Arrays.toString(HeapSort(arr)));    }    //堆排序    public static int[] HeapSort(int[] arr){        int len=arr.length;        /**         * 第一步，初始化堆，最大堆，从小到大。目标是对元素排序         * i从齐全二叉树的第一个非叶子节点开始，也就是len/2-1开始(数组下标从0开始)         */        for(int i=len/2-1;i>=0;i--){            HeapAdjust(arr,i,len);        }        /**         * 第二步，替换堆顶（最大）元素和二叉堆的最初一个叶子节点元素。目标是替换元素         * i从二叉堆的最初一个叶子节点元素开始，也就是len-1开始(数组下标从0开始)         */        for(int i=len-1;i>=0;i--){            int temp=arr[i];            arr[i]=arr[0];            arr[0]=temp;            //替换完之后须要从新调整二叉堆，从头开始调整，此时Index=0            HeapAdjust(arr,0,i);        }        return arr;    }    /**     *初始化堆     * @param arr 待调整的二叉树(数组)     * @param index 待调整的节点下标，二叉树的第一个非叶子节点     * @param len 待调整的数组长度     */    public static void HeapAdjust(int[] arr,int index,int len){        //先保留以后节点的下标        int max = index;        //保留左右孩子数组下标        int lchild = index*2+1;        int rchild = index*2+2;        //开始调整，左右孩子下标必须小于len，也就是确保index必须是非叶子节点        if(lchild<len && arr[lchild] > arr[max]){            max=lchild;        }        if(rchild<len && arr[rchild] > arr[max]){            max=rchild;        }        //若产生了替换，则max必定不等于index了。此时max节点值须要与index节点值替换，下面替换索引值，这里替换节点值        if(max!=index){            int temp=arr[index];            arr[index]=arr[max];            arr[max]=temp;            //替换完之后须要再次对max进行调整，因为此时max有可能不满足最大堆            HeapAdjust(arr,max,len);        }    }}

运行后果：

4，算法剖析

4.1，工夫复杂度

建堆的时候初始化堆过程(HeapAdjust)是堆排序的要害，工夫复杂度为O(log n)，上面看堆排序的两个过程；

第一步，初始化堆，这一步工夫复杂度是O(n)；

第二步，替换堆顶元素过程，须要用到n-1次循环，且每一次都要用到(HeapAdjust)，所以工夫复杂度为((n-1)*log n)~O(nlog n)；

最终工夫复杂度：O(n)+O(nlog n)，后者复杂度高于前者，所以堆排序的工夫复杂度为O(nlog n)；

4.2，空间复杂度

空间复杂度是O(1)，因为没有用到额定开拓的汇合空间。

4.3，算法稳定性

堆排序是不稳固的，比方说二叉树[6a，8，13，6b]，（这里的6a和6b数值上都是6，只不过为了区别6所以这样）通过堆初始化后以及排序过后就变成[6b，6a，8，13]；可见堆排序是不稳固的。