关于算法:什么是网络单纯型算法

摘要：单纯型算法是求解线性规划问题（LP）的一个经典算法，在单纯型算法中最耗时的模块是计算矩阵的逆矩阵的算法。网络单纯形算法是单纯形算法的一个非凡版本，它应用生成树基来更无效地解决具备纯网络模式的线性规划问题。

本文分享自华为云社区《网络单纯型算法简介》，原文作者：云小凡 。

前言

单纯型算法是求解线性规划问题（LP）的一个经典算法，在单纯型算法中最耗时的模块是计算矩阵的逆矩阵的算法。网络单纯形算法是单纯形算法的一个非凡版本，它应用生成树基来更无效地解决具备纯网络模式的线性规划问题。这样的LP问题能够用有向图上的公式来建模，作为一个最小费用流问题。

网络单纯型是指如下模式的LP问题：

其中，每列只蕴含一个1和一个-1，其余系数都是0。上面是一个例子：

该问题能够看做是最小费用流问题（Minimum cost flow problems）的图模式。图G=（V,E），顶点V示意行（束缚），边E示意列（变量），对于矩阵A中一个列，第i行有个1，第k行有个-1，示意图G中的一条边（i，k）。

对于上述例子，能够用下图示意：

网络流问题满足Hoffman&Gale’s conditions,因而能够确保失去整数解。

关联矩阵：

对于图G=（V,E）的关联矩阵A能够示意为：

上例中的关联矩阵能够示意为：

门路：

连通图：图中任意两个顶点都有门路。
生成树：图G的一个子图T，蕴含图G中所有顶点。
性质：rank(A)=n-1，n是结点个数。

咱们新增一个变量w，A中减少一个列

，r∈{1,2……n}中任意一个值，w=0，则LP模型为：

其中，r称为根节点(root vertex)，w称为根边（root edge）(going nowhere)
对于上述例子，如果抉择根节点 r=2

A 是图G的关联矩阵，T是G的生成树，则(A│e_r )的基B=e_r∪{a_e |e∈T}

单纯型算法：

咱们能够从根节点进行先序遍历，失去y2=0, y1-y2=1, y1-y3=10，即顺次遍历基5，基1，基4
伪代码：(递归)
solve(Vertex p,Tree S){//p是树S的根节点
Vertex v=root(S);
if(v==r) y[r]=c[w];
else if ((p,v)∈E y[v]=y[p]-c[(p,v)];
else y[v]=y[p]+c[(v,p)];
solve(v,S.left());
solve(v,S.right());
}

参考文献：https://www.cs.upc.edu/~erodr...

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