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预测GDP增长

咱们复制了Ghysels（2013）中提供的示例。咱们进行了MIDAS回归剖析，来预测季度GDP增长以及每月非农就业人数的增长。预测公式如下

其中yt是按季度季节性调整后的理论GDP的对数增长，x3t是月度总待业非农业工资的对数增长。

首先，咱们加载数据并执行转换。

R> y <- window(USqgdp, end = c(2011, 2))R> x <- window(USpayems, end = c(2011, 7))R> yg <- diff(log(y)) * 100R> xg <- diff(log(x)) * 100

最初两行用于平衡样本大小，样本大小在原始数据中有所不同。咱们只需在数据的结尾和结尾增加其余NA值即可。数据的图形示意如图所示。要指定midas_r函数的模型，咱们以下等效模式重写它：

就像在Ghysels（2013）中一样，咱们将估算样本限度在1985年第一季度到2009年第一季度之间。咱们应用Beta多项式，非零Beta和U-MIDAS权重来评估模型。

R> coef(beta0)(Intercept) yy xx1 xx2 xx30.8315274 0.1058910 2.5887103 1.0201202 13.6867809R> coef(betan)(Intercept) yy xx1 xx2 xx3 xx40.93778705 0.06748141 2.26970646 0.98659174 1.49616336 -0.09184983(Intercept) yy xx1 xx2 xx3 xx40.92989757 0.08358393 2.00047205 0.88134597 0.42964662 -0.17596814xx5 xx6 xx7 xx8 xx90.28351010 1.16285271 -0.53081967 -0.73391876 -1.18732001

咱们能够应用2009年第2季度至2011年第2季度蕴含9个季度的样本数据评估这三个模型的预测性能。

R> fulldata <- list(xx = window(nx, start = c(1985, 1), end = c(2011, 6)),+ yy = window(ny, start = c(1985, 1), end = c(2011, 2)))R> insample <- 1:length(yy)R> outsample <- (1:length(fulldata$yy))\[-insample\]R> avgf <- average_forecast(list(beta0, betan, um), data = fulldata,+ insample = insample, outsample = outsample)R> sqrt(avgf$accuracy$individual$MSE.out.of.sample)\[1\] 0.5361953 0.4766972 0.4457144

 咱们看到，MIDAS回归模型提供了最佳的样本外RMSE。

预测理论稳定

作为另一个演示，咱们应用midasr来预测每日实现的稳定率。Corsi（2009）提出了一个简略的预测每日理论稳定率的模型。实现稳定率的异质自回归模型（HAR-RV）定义为

咱们假如一周有5天，一个月有4周。该模型是MIDAS回归的特例：

为了进行教训论证，咱们应用了由Heber，Lunde，Shephard和Sheppard（2009）提供的对于股票指数的已实现稳定数据。咱们基于5分钟的收益数据估算S＆P500指数的年度实现稳定率模型。

 Parameters:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 0.83041 0.36437 2.279 0.022726 *rv1 0.34066 0.04463 7.633 2.95e-14 ***rv2 0.41135 0.06932 5.934 3.25e-09 ***rv3 0.19317 0.05081 3.802 0.000146 ***\-\-\-Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Residual standard error: 5.563 on 3435 degrees of freedom

 为了进行比拟，咱们还应用归一化指数Almon权重来预计模型

 Parameters:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 0.837660 0.377536 2.219 0.0266 *rv1 0.944719 0.027748 34.046 < 2e-16 ***rv2 -0.768296 0.096120 -7.993 1.78e-15 ***rv3 0.029084 0.005604 5.190 2.23e-07 ***\-\-\-Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Residual standard error: 5.535 on 3435 degrees of freedom

咱们能够应用异方差性和自相干鲁棒权重标准测验hAhr_test来测验这些限度中哪些与数据兼容。

 hAh restriction test (robust version)data:hAhr = 28.074, df = 17, p-value = 0.04408 hAh restriction test (robust version)data:hAhr = 19.271, df = 17, p-value = 0.3132

咱们能够看到，与MIDAS回归模型中的HAR-RV隐含束缚无关的零假如在0.05的显着性程度上被回绝，而指数Almon滞后束缚的零假如则不能被回绝。

 图阐明了拟合的MIDAS回归系数和U-MIDAS回归系数及其相应的95％置信区间。对于指数Almon滞后指标，咱们能够通过AIC或BIC抉择滞后次数。

咱们应用了两种优化办法来进步收敛性。将测试函数利用于每个候选模型。函数hAhr_test须要大量的计算工夫，尤其是对于滞后阶数较大的模型，因而咱们仅在第二步进行计算，并且限度了滞后 restriction test 的抉择。AIC抉择模型有9阶滞后：

 Selected model with AIC = 21551.97Based on restricted MIDAS regression modelThe p-value for the null hypothesis of the test hAhr_test is 0.5531733 Parameters:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 0.96102 0.36944 2.601 0.00933 **rv1 0.93707 0.02729 34.337 < 2e-16 ***rv2 -1.19233 0.19288 -6.182 7.08e-10 ***rv3 0.09657 0.02190 4.411 1.06e-05 ***\-\-\-Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Residual standard error: 5.524 on 3440 degrees of freedom

hAh_test的HAC再次无奈回绝指数Almon滞后的原假如。咱们能够应用具备1000个观测值窗口的滚动预测来钻研两个模型的预测性能。为了进行比拟，咱们还计算了无限度AR（20）模型的预测。

 Model MSE.out.of.sample MAPE.out.of.sample1 rv ~  (rv, 1:20, 1) 10.82516 26.602012 rv ~  (rv, 1:20, 1, harstep) 10.45842 25.930133 rv ~  (rv, 1:9, 1, nealmon) 10.34797 25.90268MASE.out.of.sample MSE.in.sample MAPE.in.sample MASE.in.sample1 0.8199566 28.61602 21.56704 0.83338582 0.8019687 29.24989 21.59220 0.83673773 0.7945121 29.08284 21.81484 0.8401646

咱们看到指数Almon滞后模型略优于HAR-RV模型，并且两个模型均优于AR（20）模型。

参考文献

Andreou E，Ghysels E，Kourtellos A（2010）。“具备混合采样频率的回归模型。” 计量经济学杂志，158，246–261。doi：10.1016 / j.jeconom.2010.01。004。

Andreou E，Ghysels E，Kourtellos A（2011）。“混合频率数据的预测。” 在MP Clements中，DF Hendry（编），《牛津经济预测手册》，第225–245页。