一、问题形容：

中位数 是有序列表两头的数。
如果列表长度是偶数，中位数则是两头两个数的平均值。

例如，
[2,3,4] 的中位数是 3
[2,3] 的中位数是 (2 + 3) / 2 = 2.5

设计一个反对以下两种操作的数据结构：

  • void addNum(int num) - 从数据流中增加一个整数到数据结构中。
  • double findMedian() - 返回目前所有元素的中位数。

示例：

addNum(1)addNum(2)findMedian() -> 1.5addNum(3) findMedian() -> 2

二、问题剖析

1、如果有一个数据流：[3, 1, 9, 25, 12，… ]

每流入一个数据，先在列表尾部append，再做排序，而后计算中位数，过程如下：

3 -> [3]中位数：31 -> [3, 1] -> [1, 3]中位数：(1+3)/2 = 2.09 -> [1, 3, 9] -> [1, 3, 9]中位数：325 -> [1, 3, 9, 25] -> [1, 3, 9, 25]中位数：(3+9)/2 = 6.012 -> [1, 3, 9, 25, 12] -> [1, 3, 9, 12, 25]中位数：9

最初输入的中位数列表为：[3, 2.0, 3, 6.0, 9, ...]

2、计算过程总结：先排序、再折半

如图所示：

可见，找出中位数分两种状况：

  • 当列表长度为奇数：间接取两头数
  • 当列表长度为偶数：计算最两头两数的平均数

3、根本实现

算法实现的办法很多，最直观的就是用列表的sort()，再取中值即可。

def running_medians_naive(iterable):    medians = []    values = []    for i,x in enumerate(iterable):        values.append(x)        values.sort()        if i % 2 == 0:            medians.append(values[i//2])        else:            medians.append((values[i//2]+values[i//2+1])/2)    return mediansrunning_medians_naive([3, 1, 9, 25, 12])

察看以上算法实现的工夫复杂度，能够发现每次都要对列表进行sort()，比拟耗时。

4、堆Heap实现

仔细观察计算过程，能够发现：取中位数只跟列表地方的1-2个值相干，如图所示：

跟堆Heap的思维十分类似，能够把中位数的左半折看成是大顶堆max-heap、右半侧看成是小顶堆min-heap，这样就能够用堆Heap来升高工夫复杂度了。

Python实现由两局部组成：max-heap堆 和 取中位数算法。

4.1、Max-heap堆
class Heap:    def __init__(self, key=lambda x:x):        self.data = []        self.key  = key    @staticmethod    def _parent(idx):        return (idx-1)//2            @staticmethod    def _left(idx):        return idx*2+1    @staticmethod    def _right(idx):        return idx*2+2        def heapify(self, idx=0):        while idx < len(self.data):            left = Heap._left(idx)            right = Heap._right(idx)            mid_idx = idx            if left < len(self.data) and self.key(self.data[left]) > self.key(self.data[mid_idx]):                mid_idx = left            if right < len(self.data) and self.key(self.data[right]) > self.key(self.data[mid_idx]):                mid_idx = right            if mid_idx != idx:                self.data[mid_idx], self.data[idx] = self.data[idx], self.data[mid_idx]                idx = mid_idx            else:                break                def add(self, x):        self.data.append(x)        idx = len(self.data) - 1        while idx > 0:            p = Heap._parent(idx)            if self.key(self.data[idx]) > self.key(self.data[p]):                self.data[idx], self.data[p] = self.data[p], self.data[idx]                idx = p            else:                break            def peek(self):        return self.data[0]    def pop(self):        ret = self.data[0]        self.data[0] = self.data[len(self.data)-1]        del self.data[len(self.data)-1]        self.heapify()        return ret        def __bool__(self):        return len(self.data) > 0    def __len__(self):        return len(self.data)    def __repr__(self):        return repr(self.data)
4.2、取中位数
def running_medians_heap(iterator):    medians = []    max_heap = Heap(lambda x:x)    min_heap = Heap(lambda x:-x)    for i, x in enumerate(iterator):        if i % 2 == 0:            max_heap.add(x)            min_heap.add(max_heap.pop())            medians.append(min_heap.peek())        else:            min_heap.add(x)            max_heap.add(min_heap.pop())            medians.append((max_heap.peek() + min_heap.peek()) / 2)    return mediansrunning_medians_heap([3, 1, 9, 25, 12])

具体算法原理，请参考视频：
https://www.bilibili.com/vide...

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