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本文将介绍R中可用于投资组合优化的不同求解器。
通用求解器
通用求解器能够解决任意的非线性优化问题，但代价可能是收敛速度慢。
默认包
包stats（默认装置的根本R包）提供了几个通用的优化程序。
- optimize()。用于区间内的一维无约束函数优化（对于一维求根，应用uniroot()）。
f <- function(x) exp(-0.5\*x) \* sin(10\*pi\*x)f(0.5)
result <- optimize(f, interval = c(0, 1), tol = 0.0001)result# 绘制curve(0, 1, n = 200)optim()通用优化，有六种不同的优化办法。Nelder-Mead：绝对持重的办法（默认），不须要导数。CG：实用于高维无约束问题的低内存优化BFGS：简略的无约束的准牛顿办法L-BFGS-B：用于边界束缚问题的优化SANN: 模拟退火法Brent: 用于一维问题（实际上是调用optimize()）。
这个例子做了一个最小二乘法拟合：最小化
# 要拟合的数据点# 线性拟合的l2-norm误差平方 y ~ par\[1\] + par\[2\]*x# 调用求解器（初始值为c(0, 1)，默认办法为 "Nelder-Mead"）。optim(par = c(0, 1), f, data = dat)# 绘制线性回归图# 与R中内置的线性回归进行比拟lm(y ~ x, data = dat)下一个例子阐明了梯度的应用，驰名的Rosenbrock香蕉函数：
，梯度
，无约束最小化问题
``````# Rosenbrock香蕉函数及其梯度banana <- function(x) c(-400 * x\[1\] * (x\[2\] - x\[1\] * x\[1\]) - 2 * (1 - x\[1\]), 200 * (x\[2\] - x\[1\] * x\[1\])) optim(c(-1.2, 1), f_banana)optim(c(-1.2, 1), f, gr, method = "BFGS")上面的例子应用了界束缚。
最小化
束缚：
p <- length(x); sum(c(1, rep(4, p-1)) * (x - c(1, x\[-p\])^2)^2) }# 25维度束缚optim(rep(3, 25), f,lower = rep(2, 25), upper = rep(4这个例子应用模拟退火法（用于全局优化）。
#全局最小值在-15左右res <- optim(50, f, method = "SANN")# 当初进行部分改良(通常只改良了一小部分)optim(res$par, f , method = "BFGS")
- constrOptim()。应用自适应束缚算法，在线性不等式束缚下最小化一个函数（调用optim()）。
``````# 不等式束缚(ui %*% theta >= ci): x <= 0.9, y - x > 0.1constrOptim(c(.5, 0)
nlm(): 这个函数应用牛顿式算法进行指标函数的最小化。
nlm(f, c(10,10))nlminb(): 进行无界束缚优化。.
nlminb(c(-1.2, 1), f)nlminb(c(-1.2, 1), f, gr)optim
根底函数optim()作为许多其余求解器的包，能够不便地应用和比拟。
# opm() 能够同时应用几个办法opm( f , method = c("Nelder-Mead", "BFGS"))全局优化
全局优化与局部优化的理念齐全不同（全局优化求解器通常被称为随机求解器，试图防止部分最长处）。
特定类别问题的求解器
如果要解决的问题属于某一类问题，如LS、LP、MILP、QP、SOCP或SDP，那么应用该类问题的专用求解器会更好。
最小二乘法 (LS)
线性最小二乘法（LS）问题是将最小化，可能有界或线性束缚。
线性规划(LP)
函数solveLP()，能够不便地解决以下模式的LP：
最小化：
束缚：
``````#> 加载所需软件包cvec <- c(1800, 600, 600) # 毛利率bvec <- c(40, 90, 2500) # 捐献量# 运行求解器solveLP(maximum = TRUE)
混合整数线性规划 (MILP)
lpSolve（比linprog快得多，因为它是用C语言编码的）能够解决线性混合整数问题（可能带有一些整数束缚的LP）。
# 设置问题: # maximize x1 + 9 x2 + x3 # subject to x1 + 2 x2 + 3 x3 <= 9# 3 x1 + 2 x2 + 2 x3 <= 15 # 运行求解res <- lp("max", f, con)
# 再次运行，这次要求三个变量都是整数 lp( int.vec = 1:3)solution二次布局 (QP)
能够不便地解决以下模式的QP
最小化：束缚：# 设置问题: # minimize -(0 5 0) %*% x + 1/2 x^T x# subject to A^T x >= b# with b = (-8,2,0)^T# (-4 2 0)# A = (-3 1 -2)# ( 0 0 1)#运行求解solve(Dmat,...)解决具备绝对值束缚和指标函数中的绝对值的二次布局。
二阶锥布局 (SOCP)
有几个包:
- ECOSolveR提供了一个与嵌入式COnic Solver（ECOS）的接口，这是一个驰名的、高效的、持重的C语言库，用于解决凸问题。
- CLSOCP提供了一个用于解决SOCP问题的一步平滑牛顿办法的实现。
优化根底
咱们曾经看到了两个包，它们是许多其余求解器的包。
用于凸问题、MIP和非凸问题
ROI包为解决R中的优化问题提供了一个框架。它应用面向对象的办法来定义和解决R中的各种优化工作，这些工作能够来自不同的问题类别（例如，线性、二次、非线性布局问题）。
LP – 思考 LP:
最大化:
束缚：
#> ROI: R 优化基础设施#> 求解器插件: nlminb, ecos, lpsolve, scs.#> 默认求解器: auto. OP(objective = L_objective(c(3, 7, -12)),..., maximum = TRUE)#> 投资回报率优化问题:# 让咱们来看看可用的求解器# solve itres <- ROI_solve(prob)res
MILP – 思考先前的LP，并通过增加约束条件x2,x3∈Z使其成为一个MILP.
# 只需批改之前的问题types(prob) <- c("C", "I", "I")prob
BLP – 思考二元线性规划 (BLP):
最小化：
束缚：
OP(objective = L_objective,..., , types = rep("B", 5))ROI_solve(prob)#> Optimal solution found.#> The objective value is: -1.01e+02SOCP – 思考SOCP:
最大化:
束缚:
并留神到SOC束缚 能够写成或 ，在代码中实现为：。
OP(objective = L_objective,..., maximum = TRUE)
SDP--思考SDP:
最小化：
束缚：
并留神SDP束缚能够写成（大小为3是因为在咱们的问题中，矩阵为2×2，但vech()提取了3个独立变量，因为矩阵是对称的）。
OP(objective = L_objective,..., rhs ))NLP – 思考非线性布局(NLP)
最大化
束缚
``````OP(objective = F_objective,..., bounds , maximum = TRUE)
凸优化
R为凸优化提供了一种面向对象的建模语言。它容许用户用天然的数学语法来制订凸优化问题，而不是大多数求解器所要求的限制性规范模式。通过应用具备已知数学个性的函数库，联合常数、变量和参数来指定指标和约束条件集。当初让咱们看看几个例子。
最小二乘法 – 让咱们从一个简略的LS例子开始：最小化
当然，咱们能够应用R的根底线性模型拟合函数lm()。
# 生成数据m <- 100n <- 10beta_true <- c(-4:5)# 生成数据res <- lm(y ~ 0 + X) # 0示意咱们的模型中没有截距。
用CVXR来做
result <- solve(prob)str(result)
咱们当初能够很容易地增加一个限度条件来解决非负的LS。
Problem(Minimize(obj), constraints = list(beta >= 0))solve(prob)持重的Huber回归 - 让咱们思考持重回归的简略例子：
最小化
其中
``````sum(huber(y - X %*% beta, M)Problem(Minimize(obj))solve(prob)弹性网正则化 - 咱们当初要解决的问题是：最小化
# 定义正则化项elastic<- function(beta) { ridge <- (1 - alpha) * sum(beta^2) lasso <- alpha * p_norm(beta, 1)# 定义问题并解决它sum((y - X %*% beta)^2) + elastic(beta, lambda, alpha)Problem(Minimize(obj))solve(prob)稠密逆协方差矩阵--思考矩阵值的凸问题：最大化，条件是
log\_det(X) - matrix\_trace(X %*% S)list(sum(abs(X)) <= alpha)协方差--思考矩阵值的凸问题：在的条件下，最大化。
constr <- list(Sigma\[1,1\] == 0.2, Sigma\[1,2\] >= 0, Sigma\[1,3\] >= 0, Sigma\[2,2\] == 0.1, Sigma\[2,3\] <= 0, Sigma\[2,4\] <= 0, Sigma\[3,3\] == 0.3, Sigma\[3,4\] >= 0, Sigma\[4,4\] == 0.1)投资组合优化--思考马科维茨投资组合设计：最大化，
Problem(Maximize(obj), constr)solve(prob)论断
R语言中可用的求解器的数量很多。倡议采取以下步骤。
- 如果是凸优化问题，那么开始进行初步测试。
- 如果速度不够快，应用ROI。
- 如果依然须要更快的速度，那么如果问题属于定义好的类别之一，则应用该类别专用的求解器（例如，对于LP，举荐应用lpSolve，对于QP则应用quadprog）。
- 然而，如果问题不属于任何类别，那么就必须应用非线性优化的个别求解器。在这个意义上，如果一个部分的解决方案就够了，那么能够用许多求解器的包。如果须要全局求解器，那么软件包gloptim是一个不错的抉择，它是许多全局求解器的包。
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