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摘要

本文提供了一套用于剖析各种无限混合模型的办法。既包含传统的办法，如单变量和多变量正态混合的EM算法，也包含反映无限混合模型的一些最新钻研的办法。许多算法都是EM算法或基于相似EM的思维，因而本文包含无限混合模型的EM算法的概述。

1.无限混合模型介绍

人群中的个体往往能够被划分为群。然而，即便咱们察看到这些个体的特色，咱们也可能没有真正察看到这些成员的群体。这项工作在文献中有时被称为 "无监督聚类"，事实上，混合模型个别能够被认为是由被称为 "基于模型的聚类 "的聚类办法的子集组成。

无限混合模型也可用于那些对个体聚类感兴趣的状况之外。首先，无限混合模型给出了整个子群的形容，而不是将个体调配到这些子群中。有时，无限混合模型只是提供了一种充沛形容特定散布的伎俩，例如线性回归模型中存在异样值的残差散布。
无论建模者在采纳混合模型时的指标是什么，这些模型的大部分实践都波及到一个假如，即子群是依照一个特定的参数模式散布的--而这个模式往往是单变量或多变量正态。

最近的钻研指标是放宽或批改多变量正态假如，无限混合模型剖析的计算技术，其中的成分是回归、多变量数据离散化产生的向量，甚至是齐全未指定的散布。

2. 无限混合模型的EM算法

===

EM算法迭代最大化，而不是察看到的对数似然Lx()，算式为

1. E步：计算Q(|(t))
2. M步骤：设定(t+1)=argmax∈ Q(|(t))

对于无限混合模型，E步骤不依赖于F的构造，因为缺失数据局部只与Z无关。

Z是离散的，它们的散布是通过贝叶斯定理给出的。M步骤自身能够分成两局部，与无关的最大化，它不依赖于F，与无关的最大化，它必须为每个模型专门解决（例如，参数化、半参数化或非参数化）。因而，模型的EM算法有以下独特特点。
11. E步。计算成分蕴含的 "后验 "概率（以数据和（t）为条件）。

对于所有i = 1, . . . ，n和j = 1， . . . 从数值上看，齐全依照公式（2）的写法来实现是很危险的，因为在xi离任何一个成分都很远的状况下，所有的（t）j 0（xi）值都会导致数值下溢为零，所以可能会呈现不确定的模式0/0。因而，许多例程实际上应用的是等价表达式

或其某种变体。

2. 的M步骤。设

2.3. 一个EM算法的例子

作为一个例子，咱们思考对图1中形容的间歇泉喷发间隔时间期待数据进行单变量正态混合剖析。这种齐全参数化的状况对应于第1节中形容的单变量高斯家族的混合散布，其中（1）中的第j个重量密度j（x）为正态，均值为j，方差为 2 j。

对于参数(µj , 2 j )的M步，j = 1, . . 这个EM算法对这种单变量混合散布的M步骤是很简略的，例如能够在McLachlan和Peel（2000）中找到。

mixEM(waiting, lambda = .5)

下面的代码将拟合一个二成分的混合散布（因为mu是一个长度为2的向量），其中标准偏差被假设为相等（因为sigma是一个标量而不是一个向量）。

图1:对数似然值的序列，Lx( (t))

图2：用参数化EM算法拟合间歇泉期待数据。拟合的高斯成分。

R> plot(wait1, density = TRUE, cex.axis = 1.4, cex.lab = 1.4, cex.main = 1.8,+ main2 = "Time between Old Faithful eruptions", xlab2 = "Minutes")

两个图：察看到的对数似然值的序列t 7→Lx( (t))和数据的直方图，其中有N(µj , 2 j)的m(这里m=2)个拟合的高斯重量密度，j=1, . . . ，m，叠加在一起。预计

另外，应用summary也能够失去同样的输入。

summary(wait1)

3. Cutpoint methods切割点办法

传统上，大多数对于无限混合模型的文献都假如方程（1）的密度函数j（x）来自一个已知的参数族。然而，一些作者最近思考了这样的问题：除了确保模型中参数的可识别性所需的一些条件外，j（x）是不指定的。咱们应用Elmore等人（2004）的切割点办法。
咱们参考Elmore等人从-63开始，始终到63大概以10.5的距离采纳切点。而后从原始数据中创立一个多指标数据集，如下所示。

R> cutpts <- 10.5*(-6:6)R> mult(data, cuts = cutpts)

一旦创立了多指标数据，咱们能够利用EM算法预计多指标参数。最初，计算并绘制出方程的预计散布函数。图3给出了3重量和4重量解决方案的图表；这些图表与Elmore等人（2004）的图1和图2中的相应图表十分类似。

R> plot(data, posterior, lwd = 2,+ main = "三重量解")

图3(a)

图3(b)

同样能够用summary来总结EM输入。

单变量对称、地位偏移的半参数例子

在(-)绝对于Lebesgue度量是相对间断的额定假如下，Bordes等人(2007)提出了一种预计模型参数的随机算法，即(, µ, )。一个特例

R> plot(wait1, which = 2 )R> wait2 <-EM(waiting)R> plot(wait2, lty = 2)

图4(a)

图4(b)

因为半参数版本依赖于核密度估计步骤（8），所以有必要为这个步骤抉择一个带宽。默认状况下，应用"Silverman的教训法令"（Silverman 1986）利用于整个数据集。

R> bw.nrd0(wait)

但带宽的抉择会产生很大的不同，如图4(b)所示。

> wait2a <- EM(wait, bw = 1)> plot(wait2a> plot(wait2b

咱们发现，在带宽靠近2的状况下，半参数解看起来十分靠近图2的正态混合散布解。进一步升高带宽会导致图4(b)中的实线所体现出的 "凹凸不平"。另一方面，在带宽为8的状况下，半参数解成果很差，因为算法试图使每个成分看起来与整个混合散布类似。

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