关于计算机组成原理:计算机组成原理笔记数制Number-Systems

十进制零碎

十进制零碎即The Decimal System

在日常生活中，咱们每天都在应用逢十进一的数位（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）来示意数字，这种数制叫做十进制。
考查数字83的意义，能够示意成：
83 = (8 × 10) + 3
即八个10再加上一个3；
考查数字4728的意义，能够示意成：
4728 = (4 × 1000) + (7 × 100) + (2 × 10) + 8
即四个1000加上七个100再加上两个10再加上一个8。

从上得悉，咱们能够说，十进制的基数（base/radix）为10。也即，十进制数是由每个数位的数字乘以10的n次幂，n与数位的地位相干。例如：
83 = (8 × 10¹) + (3 × 10⁰)
83是由两个数位形成，最右边的数位为最高（无效）数位，这里是8；最左边的数位是最低（无效）数位，这里是3。最低数位的地位所对应的10的幂为0，从右往左顺次加一。即，数位3为最低数位，故其10的幂为0，示意为3×10⁰；往左挪动一位，数位为8，其10的幂为1，示意为8×10¹，将所有数位相加失去的和即该十进制数，也即，8×10¹+ 3×10⁰= 83
应用同样的办法拆解数字4728，示意如下：
4728 = (4 × 10³) + (7 × 10²) + (2 × 10¹) + (8 × 0²)

咱们应用同样的办法示意小数局部，只不过小数局部数位的10的幂为正数。其最大的数位的10的幂为-1，从左向右其数位的10的幂顺次减1。例如：
0.256 = (2 × 10^-1) + (5 × 10^-2) + (6 × 10^-3)

在一个既有整数局部又有小数局部的十进制数中，其数位的10的幂也既有负数又有正数：
442.256 = (4 × 10²) + (4 × 10¹) + (2 × 10⁰) + (2 × 10^-1) + (5 × 10^-2) + (6 × 10^-3)

应用表格示意上述数字的数位地位和其10的幂的关系：

个别的，十进制数应用X来示意：
$$X = \{...d_2d_1d_0d_{-1}d_{-2}d_{-3}...\}$$
X的值为：
$$X=\sum_{i}(d_i×10^i)$$

按位计数零碎

按位计数零碎即Positional Number Systems

十进制零碎是按位计数零碎的一种。
在一个按位计数零碎中，每个数字（Number）的数位（Digit）的地位应用i示意，数位的权用rⁱ示意。其中，r为数字的基数（base/radix）。

个别的，在该零碎中，一个数字可示意为：
$$(...a_3a_2a_1a_0a_{-1}a_{-2}a_{-3}...)_r$$
其中，每一个数位a_i都是一个整数，且0≤a_i≤r

该数字的值为：

$$... + a_3r^3 + a_2r^2 + a_1r^1 + a_0r^0 + a_{-1}r^{-1} + a_{-2}r^{-2} + a_{-3}r^{-3} + ... = \sum_i(a_i × r^i)$$

二进制零碎

二进制零碎即The Binary System

在十进制零碎中，每个数位有十个数能够示意，即0~9。在二进制零碎中，每个数位只有0或者1这两个数来示意。
为了防止在表白过程中引起的数制概念凌乱，咱们给每个数字加上数制下标。例如，十进制数83和4728，咱们应用83₁₀和4728₁₀示意。

二进制数中的1和0在十进制中的意义雷同：
0₂ = 0₁₀
1₂ = 1₁₀

如果要应用二进制数字示意十进制数字中更大的数字（>2），显著的，在二进制中则须要进位了：

$$10_2 = (1 × 2^1) + (0 × 2^0) = 2_{10} \\11_2 = (1 × 2^1) + (1 × 2^0) = 3_{10} \\100_2 = (1 × 2^2) + (0 × 2^1) + (0 × 2^0) = 4_{10}$$

小数局部仍然应用10的负次幂示意，这里不再举例。
个别的，应用二进制示意数字：

$$Y = \{...b_2b_1b_0b_{-1}b_{-2}b_{-3}...\}$$

则Y的值为：

$$Y = \sum_i(b_i × 2^i)$$

二进制和十进制的转换

将二进制数转换为十进制数非常容易，上述的笔记中曾经有很多例子。

而要将十进制数字转换为二进制数字，整数局部和小数局部则须要离开解决。

整数局部

如上述笔记所叙，在二进制中，整数局部可示意为：

$$b_{m-1}b_{m-2}...b_2b_1b_0\quad(b_i=0或1)$$

该数字的值为：

$$(b_{m-1} × 2^{m-1}) + (b_{m-2} × 2^{m-2}) + ... + (b_1 × 2^1) + b_0$$

假如咱们须要将十进制的整数N转换为二进制，能够将N除以2，将失去一个商N₁和余数R₀，记为：

$$N = 2 × N_1 + R_0\quad(R_0=0或1)$$

接着，咱们将商N₁持续除以2。令其新的商记为N₂，新的余数记为R₁，则：

$$N_1 = 2 × N_2 + R_1\quad(R_1=0或1)$$

那么有：

$$N = 2(2N_2 + R_1) + R_0 = (N_2 × 2^2) + (R_1 × 2^1) + R_0$$

咱们能够将失去的商持续往下除以2，因为N > N₁ > N₂...，最终会失去商：N_m-1 = 1（0₁₀和1₁₀除外）以及余数R_m-2 = 0或1，那么咱们能够失去：

$$N = (1 × 2^{m-1}) + (R_{m-2} × 2^{m-2}) + ... + (R_2 × 2^2) + (R_1 × 2^1) + R_0$$

即N的二进制模式。
因而，将十进制数的整数局部转换为二进制数，只需将数字一直除以2即可，将失去的余数（非0即1）逆序排列，就失去了二进制的整数局部。

例1：将11₁₀转换为二进制。
解：

例2：将21₁₀转换为二进制。
解：

小数局部

如上述笔记所叙，在二进制中，整数局部可示意为：

$$b_{-1}b_{-2}b_{-3}...\quad(b_i=0或1)$$

该数字的值为：

$$(b_{-1} × 2^{-1}) + (b_{-2} × 2^{-2}) + (b_{-3} × 2^{-3})...$$

也能够记为：

$$2_{-1} × (b_{-1} × 2^{-1} × (b_{-2} × 2^{-1} × (b_{-3} + ...)...))$$

上一个表达式正好提供了一个转换的思路。假如咱们要将数字F(0＜F＜1)由十进制转换为二进制。由上可知，数字F能够示意为：

$$F = 2^{-1} × (b_{-1} + 2^{-1} × (b_{-2} + 2^{-1} × (b_{-3} + ...)...))$$

等式两边同乘以2得：

$$2F = b_{-1} + 2^{-1} × (b_{-2} + 2^{-1} × (b_{-3} + ...)...)$$

因为0＜F＜1，显然的，2F的整数局部b_-1∈{0, 1}。咱们将残余的小数局部记为F₁，且0＜F₁＜1，可得：

$$F_1 = 2^{-1} × (b_{-2} + 2^{-1} × (b_{-3} + ...)...)$$

为了求b_-1，咱们可反复上述步骤。以此类推，小数局部的转换算法行将小数一直乘以2即可。算法中每一步的被乘数都是上一步的积的小数局部，且积的整数局部肯定是0或1，其形成之正序序列即二进制的小数局部。然而，这个算法是不准确的，因为该算法的准确进行条件是直到积的小数局部等于0为止，而有时该算法可能会始终循环上来。因而，咱们须要另一个进行条件：将算法运行到咱们所须要的肯定精度即可。

例1：将0.81₁₀转换为二进制。
解：

例2：将0.25₁₀转换为二进制。
解：