咱们晓得参数的置信区间的计算，这些都遵从肯定的散布(t散布、正态分布），因而在规范误前乘以相应的t分值或Z分值。但如果咱们找不到适合的散布时，就无奈计算置信区间了吗？侥幸的是，有一种办法简直能够用于计算各种参数的置信区间，这就是Bootstrap 法。
本文应用BOOTSTRAP来取得预测的置信区间。咱们将在线性回归根底上探讨。
> reg=lm(dist~speed,data=cars)> points(x,predict(reg,newdata= data.frame(speed=x)))这是一个单点预测。当咱们想给预测一个置信区间时，预测的置信区间取决于参数估计误差。
预测置信区间
让咱们从预测的置信区间开始
> for(s in 1:500){+ indice=sample(1:n,size=n,+ replace=TRUE)+ points(x,predict(reg,newdata=data.frame(speed=x)),pch=19,col="blue") 蓝色值是通过在咱们的观测数据库中从新取样取得的可能预测值。值得注意的是，在残差正态性假如下（回归线的斜率和常数估计值），置信区间（90%）如下所示：
predict(reg,interval ="confidence", 在这里，咱们能够比拟500个生成数据集上的值散布，并将教训分位数与正态假如下的分位数进行比拟，
> hist(Yx,proba=TRUE> boxplot(Yx,horizontal=TRUE> polygon(c( x ,rev(x I])))) 能够看出，教训分位数与正态假如下的分位数是能够比拟的。
> quantile(Yx,c(.05,.95)) 5% 95% 58.63689 70.31281 + level=.9,newdata=data.frame(speed=x)) fit lwr upr1 65.00149 59.65934 70.34364感兴趣变量的可能值
当初让咱们看看另一种类型的置信区间，对于感兴趣变量的可能值。这一次，除了提取新样本和计算预测外，咱们还将在每次绘制时增加噪声，以取得可能的值。
> for(s in 1:500){+ indice=sample(1:n,size=n,+ base=cars[indice,]+ erreur=residuals(reg)+ predict(reg,newdata=data.frame(speed=x))+E 在这里，咱们能够（首先以图形形式）比拟通过从新取样取得的值和在正态假如下取得的值，
> hist(Yx,proba=TRUE)> boxplot(Yx) abline(v=U[2:3)> polygon(c(D$x[I,rev(D$x[I]) 数值上给出了以下比拟
> quantile(Yx,c(.05,.95)) 5% 95% 44.43468 96.01357 U=predict(reg,interval ="prediction" fit lwr upr1 67.63136 45.16967 90.09305这一次，右侧有轻微的不对称。显然，咱们不能假如高斯残差，因为有更大的正值，而不是负值。思考到数据的性质，这是有意义的（制动间隔不能是正数）。
而后开始探讨在供给中应用回归模型。为了取得具备独立性，有人认为必须应用增量付款的数据，而不是累计付款。
能够创立一个数据库，解释变量是行和列。
> base=data.frame(+ y> head(base,12) y ai bj1 3209 2000 02 3367 2001 03 3871 2002 04 4239 2003 05 4929 2004 06 5217 2005 07 1163 2000 18 1292 2001 19 1474 2002 110 1678 2003 111 1865 2004 112 NA 2005 1 而后，咱们能够从基于对数增量付款数据的回归模型开始，该模型基于对数正态模型
Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 7.9471 0.1101 72.188 6.35e-15 ***as.factor(ai)2001 0.1604 0.1109 1.447 0.17849 as.factor(ai)2002 0.2718 0.1208 2.250 0.04819 * as.factor(ai)2003 0.5904 0.1342 4.399 0.00134 ** as.factor(ai)2004 0.5535 0.1562 3.543 0.00533 ** as.factor(ai)2005 0.6126 0.2070 2.959 0.01431 * as.factor(bj)1 -0.9674 0.1109 -8.726 5.46e-06 ***as.factor(bj)2 -4.2329 0.1208 -35.038 8.50e-12 ***as.factor(bj)3 -5.0571 0.1342 -37.684 4.13e-12 ***as.factor(bj)4 -5.9031 0.1562 -37.783 4.02e-12 ***as.factor(bj)5 -4.9026 0.2070 -23.685 4.08e-10 ***---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 0.1753 on 10 degrees of freedom (15 observations deleted due to missingness)Multiple R-squared: 0.9975, Adjusted R-squared: 0.9949 F-statistic: 391.7 on 10 and 10 DF, p-value: 1.338e-11 > exp(predict(reg1,+ newdata=base)+summary(reg1)$sigma^2/2) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6][1,] 2871.2 1091.3 41.7 18.3 7.8 21.3[2,] 3370.8 1281.2 48.9 21.5 9.2 25.0[3,] 3768.0 1432.1 54.7 24.0 10.3 28.0[4,] 5181.5 1969.4 75.2 33.0 14.2 38.5[5,] 4994.1 1898.1 72.5 31.8 13.6 37.1[6,] 5297.8 2013.6 76.9 33.7 14.5 39.3> sum(py[is.na(y)])[1] 2481.857这与链式梯度法的后果略有不同，但依然具备可比性。咱们也能够尝试泊松回归（用对数链接）
glm(y~+ as.factor(ai)++ as.factor(bj),data=base,+ family=poisson)Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) 8.05697 0.01551 519.426 < 2e-16 ***as.factor(ai)2001 0.06440 0.02090 3.081 0.00206 ** as.factor(ai)2002 0.20242 0.02025 9.995 < 2e-16 ***as.factor(ai)2003 0.31175 0.01980 15.744 < 2e-16 ***as.factor(ai)2004 0.44407 0.01933 22.971 < 2e-16 ***as.factor(ai)2005 0.50271 0.02079 24.179 < 2e-16 ***as.factor(bj)1 -0.96513 0.01359 -70.994 < 2e-16 ***as.factor(bj)2 -4.14853 0.06613 -62.729 < 2e-16 ***as.factor(bj)3 -5.10499 0.12632 -40.413 < 2e-16 ***as.factor(bj)4 -5.94962 0.24279 -24.505 < 2e-16 ***as.factor(bj)5 -5.01244 0.21877 -22.912 < 2e-16 ***---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1) Null deviance: 46695.269 on 20 degrees of freedomResidual deviance: 30.214 on 10 degrees of freedom (15 observations deleted due to missingness)AIC: 209.52Number of Fisher Scoring iterations: 4> predict(reg2,newdata=base,type="response")> sum(py2[is.na(y)])[1] 2426.985预测后果与链式梯度法失去的估计值吻合。克劳斯·施密特（Klaus Schmidt）和安吉拉·温什（Angela Wünsche）于1998年在链式梯度法、边际和最大似然预计中建设了与最小偏差办法的分割。