最长公共子序列
1.问题形容
$对于母串X=<x1,x2,⋯,xm>, Y=<y1,y2,⋯,yn>，求最长公共子序列$
2.求解算法
2.1 暴力破解
$假如m<n ，对于母串X，能够找到2^m-1个子序列，而后顺次在母串Y中匹配，算法的工夫复杂度会达到指数级O(n * 2^m)$
2.2 动静布局
最优子结构：
$假如Z=<z1,z2,⋯,zk>是XX与YY的LCS， 咱们察看到 $
- $如果xm=yn，则zk=xm=yn，有Zk−1是Xm−1与Yn−1的LCS；$
- $如果xm≠yn，则Zk是Xm与Yn−1的LCS，或者是Xm−1与Yn的LCS。$
因而，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。然而，上述的递归求解的方法中，反复的子问题多，效率低下。改良的方法——用空间换工夫，用数组保留中间状态，不便前面的计算,这就是动静布局（DP)的核心思想了。
用二维数组ci记录串x1x2⋯xi与y1y2⋯yj的LCS长度，则可失去状态转移方程
状态转移方程
JAVA代码递归实现
public static int lcs(String s1, String s2) { char[][] c = new char[s1.length() + 1][s2.length() + 1]; for (int i = 1; i <= s1.length(); i++) { c[i][0] = s1.charAt(i - 1); } for (int j = 1; j <= s2.length(); j++) { c[0][j] = s2.charAt(j - 1); } return recursion(c, s1.length(), s2.length());}public static int recursion(char[][] c, int i, int j) { if (i == 0 || j == 0) { return 0; } if (c[i][1] == c[1][j]) { return recursion(c, i - 1, j - 1) + 1; } return Math.max(recursion(c, i, j - 1), recursion(c, i - 1, j));}JAVA代码自底向上动静布局实现
public static int lcs(String s1, String s2) { char[][] c = new char[s1.length() + 1][s2.length() + 1]; int[][] dp = new int[s1.length() + 1][s2.length() + 1]; // s1,s2字符串转二维数组 for (int i = 1; i <= s1.length(); i++) { c[i][0] = s1.charAt(i - 1); } for (int j = 1; j <= s2.length(); j++) { c[0][j] = s2.charAt(j - 1); } // 初始化dp数组 for (int i = 0; i <= s1.length(); i++) { dp[i][0] = 0; } for (int j = 0; j < s2.length(); j++) { dp[0][j] = 0; } // 填表 for (int i = 1; i <= s1.length(); i++) { for (int j = 1; j <= s2.length(); j++) { if (c[i][0] == c[0][j]) { dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1; } else { dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]); } } } return dp[s1.length()][s2.length()];}参考文献：
【动静布局】最长公共子序列与最长公共子串
动静布局 最长公共子序列 过程图解
动静布局解最长公共子序列(LCS)(附具体填表过程)
《算法导论》第四局部 高级设计和剖析技术